Functionals that penalize bending or stretching of a surface play a key role in geometric and scientific computing, but to date have ignored a very basic requirement: in many situations, surfaces must not pass through themselves or each other. This paper develops a numerical framework for optimization of surface geometry while avoiding (self-)collision. The starting point is the tangent-point energy, which effectively pushes apart pairs of points that are close in space but distant along the surface. We develop a discretization of this energy for triangle meshes, and introduce a novel acceleration scheme based on a fractional Sobolev inner product. In contrast to similar schemes developed for curves, we avoid the complexity of building a multiresolution mesh hierarchy by decomposing our preconditioner into two ordinary Poisson equations, plus forward application of a fractional differential operator. We further accelerate this scheme via hierarchical approximation, and describe how to incorporate a variety of constraints (on area, volume, etc.). Finally, we explore how this machinery might be applied to problems in mathematical visualization, geometric modeling, and geometry processing.


翻译:惩罚地表弯曲或延伸功能的功能在几何和科学计算中起着关键作用,但迄今为止却忽视了一个非常基本的要求:在许多情况下,表面本身或彼此之间不能通过。本文件为优化地表几何而制定了一个数字框架,同时避免(自)分层。起点是正点能量,它有效地将空间接近但地表遥远的两点分开。我们为三角间贝开发了这种能量的分解,并采用了基于分数索博列夫内部产品的新型加速方案。与为曲线开发的类似方案不同,我们避免了建立多分辨率网格结构的复杂性,我们的方法是将我们的先决条件分解成两个普通的普瓦森方程式,加上一个分数差操作员的前方应用。我们通过分层近距离进一步加速这个方案,并描述如何将各种制约(在区域、体积等)纳入。最后,我们探索这一机制如何应用到数学可视化、几何建模和几何制处理中的问题。

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Surface 是微软公司( Microsoft)旗下一系列使用 Windows 10(早期为 Windows 8.X)操作系统的电脑产品,目前有 Surface、Surface Pro 和 Surface Book 三个系列。 2012 年 6 月 18 日,初代 Surface Pro/RT 由时任微软 CEO 史蒂夫·鲍尔默发布于在洛杉矶举行的记者会,2012 年 10 月 26 日上市销售。
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