An $n \times n$ matrix with $\pm 1$ entries which acts on $\mathbb{R}^n$ as a scaled isometry is called Hadamard. Such matrices exist in some, but not all dimensions. Combining number-theoretic and probabilistic tools we construct matrices with $\pm 1$ entries which act as approximate scaled isometries in $\mathbb{R}^n$ for all $n$. More precisely, the matrices we construct have condition numbers bounded by a constant independent of $n$. Using this construction, we establish a phase transition for the probability that a random frame contains a Riesz basis. Namely, we show that a random frame in $\mathbb{R}^n$ formed by $N$ vectors with independent identically distributed coordinates having a non-degenerate symmetric distribution contains many Riesz bases with high probability provided that $N \ge \exp(Cn)$. On the other hand, we prove that if the entries are subgaussian, then a random frame fails to contain a Riesz basis with probability close to $1$ whenever $N \le \exp(cn)$, where $c<C$ are constants depending on the distribution of the entries.


翻译:$\ pm 1 以美元计算 $mathbb{R ⁇ n $ 1 的矩阵, 以美元为单位运行 $mathbb{R ⁇ n$ 。 这种矩阵在某些维度中存在, 但不是所有维度 。 将数字理论和概率工具组合在一起, 我们用$pm 1 的条目构建矩阵, 以美元为单位运行。 更确切地说, 我们构建的矩阵有条件号, 以美元为单位, 以美元为单位运行。 使用此构造, 我们为随机框架包含 Riesz 的概率建立一个阶段过渡。 也就是说, 我们显示一个以美元为单位的随机框架, 美元为单位, 美元为美元, 以美元为单位, 以美元为单位, 以美元为单位, 以美元为单位, 以美元为单位, 以美元为单位, 以美元为单位, 以美元为单位, 以美元为单位, 以美元为单位, 以美元为单位。 另一方面, 我们证明如果这些条目是子为子为子, 以美元为单位, 则以美元为单位框不能在 以美元 。

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