For smooth finite fields $F_q$ (i.e., when $q-1$ factors into small primes) the Fast Fourier Transform (FFT) leads to the fastest known algebraic algorithms for many basic polynomial operations, such as multiplication, division, interpolation and multi-point evaluation. However, the same operations over fields with no smooth order root of unity suffer from an asymptotic slowdown. The classical algorithm of Schonhage and Strassen incurred a multiplicative slowdown factor of $\log \log n$ on top of the smooth case. Recent remarkable results of Harvey, van der Hoeven and Lecerf dramatically reduced this multiplicative overhead to $\exp(\log^* (n))$. We introduce a new approach to fast algorithms for polynomial operations over all large finite fields. The key idea is to replace the group of roots of unity with a set of points $L \subset F$ suitably related to a well-chosen elliptic curve group (the set $L$ itself is not a group). The key advantage of this approach is that elliptic curve groups can be of any size in the Hasse-Weil interval $[q+1 \pm 2\sqrt{q}]$ and thus can have subgroups of large, smooth order, which an FFT-like divide and conquer algorithm can exploit. Compare this with multiplicative subgroups over whose order must divide $q-1$. For polynomials represented by their evaluation over subsets of $L$, we show that multiplication, division, degree-computation, interpolation, evaluation and Reed-Solomon encoding (also known as low-degree extension) with fixed evaluation points can all be computed with arithmetic circuits of size similar to what is achievable with the classical FFTs when the field size is special. For several problems, this yields the asymptotically smallest known arithmetic circuits even in the standard monomial representation of polynomials.


翻译:对于平滑的限定字段 $F_q$ (即当 $q-1 系数变成小质时 ) Frier 快速变换(FFT) 导致许多基本多元操作,如乘法、分法、内插法和多点评价的已知最小值算法最快。 然而,对于没有平滑的团结根基的字段,同样的操作会受到无平稳的减速的影响。Shoonhage 和 Strassen 的经典算法在平滑的立方体上产生了倍倍增的减速系数$\log\log n$。 Harvey、 van der Hoeven 和 Lecerf 的近期显著结果, 将这种多倍化的代算算算值降为$\ Excrediscrigical $( van der Hoele) 。 对于这个方法的关键优势是, 以已知的 IMFlickral 大小的直径解算法可以显示一个已知的直径直径, 直径直径直径直径直径组可以显示一个直径直径直径直径直径。

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