For a graph $G$, $\chi(G)$ will denote its chromatic number, and $\omega(G)$ its clique number. A graph $G$ is said to be perfectly divisible if for all induced subgraphs $H$ of $G$, $V(H)$ can be partitioned into two sets $A$, $B$ such that $H[A]$ is perfect and $\omega(H[B]) < \omega(H)$. An integer-valued function $f$ is called a $\chi$-binding function for a hereditary class of graphs $\cal C$ if $\chi(G) \leq f(\omega(G))$ for every graph $G\in \cal C$. The fork is the graph obtained from the complete bipartite graph $K_{1,3}$ by subdividing an edge once. The problem of finding a polynomial $\chi$-binding function for the class of fork-free graphs is open. In this paper, we study the structure of some classes of fork-free graphs; in particular, we study the class of (fork,$F$)-free graphs $\cal G$ in the context of perfect divisibility, where $F$ is a graph on five vertices with a stable set of size three, and show that every $G\in \cal G$ satisfies $\chi(G)\leq \omega(G)^2$. We also note that the class $\cal G$ does not admit a linear $\chi$-binding function.
翻译:$G$, $\chi( G) $将表示其色数, $\ omega( G) 美元将表示其色数, 和 $\ omega( G) 美元 其色数 。 如果对所有导导子子谱来说, $H$, $G( G) 可以分割成两套美元, $B$, 美元可以表示$H[ A] 是完美的, $\ omga( H[ B] 美元) 将表示其色数, 美元( g) 将表示其色数数的值。 如果对基因类的图形, $C$( G)\ c$ ( G)\ leq( g) 美元, 美元, 美元, 美元( g) 美元( g) 美元( g) 美元( g) 美元( 美元), 美元( 美元) 整数值的整数值函数将称为 $- chi$( g) 美元( g) un- conn- cal $( g- cal) $( gal) $( $) $( g) $( g) $( g) $( g) =( g) =( g) $( g) =( g) =( g) 美元) 美元) 美元) =( g) =( g) $( g) =( g) =( g) =( g) 美元) =( g) =( g) =( g) =( g) =( g) =( =( 美元) 美元) 美元) 美元) =( 美元) 美元) 美元) =( g) =( g) =( 美元) =( =( =( g) =( 美元) ) ) ) ) 美元) 美元) 美元) 美元) =( 美元) =( 美元) 美元) =( 美元) ) 美元) 美元) 美元) 美元) =( =( 美元) 美元) 美元) 美元) =(