Spatial symmetries and invariances play an important role in the behaviour of materials and should be respected in the description and modelling of material properties. The focus here is the class of physically symmetric and positive definite tensors, as they appear often in the description of materials, and one wants to be able to prescribe certain classes of spatial symmetries and invariances for each member of the whole ensemble, while at the same time demanding that the mean or expected value of the ensemble be subject to a possibly 'higher' spatial invariance class. We formulate a modelling framework which not only respects these two requirements$-$positive definiteness and invariance$-$but also allows a fine control over orientation on one hand, and strength/size on the other. As the set of positive definite tensors is not a linear space, but rather an open convex cone in the linear space of physically symmetric tensors, we consider it advantageous to widen the notion of mean to the so-called Fr\'echet mean on a metric space, which is based on distance measures or metrics between positive definite tensors other than the usual Euclidean one. It is shown how the random ensemble can be modelled and generated, independently in its scaling and orientational or directional aspects, with a Lie algebra representation via a memoryless transformation. The parameters which describe the elements in this Lie algebra are then to be considered as random fields on the domain of interest. As an example, a 2D and a 3D model of steady-state heat conduction in a human proximal femur, a bone with high material anisotropy, is modelled with a random thermal conductivity tensor, and the numerical results show the distinct impact of incorporating into the constitutive model different material uncertainties$-$scaling, orientation, and prescribed material symmetry$-$on the desired quantities of interest.
翻译:空间对称性和差异性在材料行为中起着重要作用, 在材料属性的描述和建模中应该得到尊重。 这里的焦点是物理对称和正确定分母的等级, 因为它们经常出现在材料描述中, 人们想要能够为整个组合的每个成员指定某些空间对称性和差异性类别, 同时要求组合的平均值或预期值受制于可能“ 更高” 的空间变异等级。 我们设计了一个建模框架, 它不仅尊重这两个要求 $- 阳性参数的确定性和不变化性 $, 而且还允许对方向进行精细控制, 因为正确定分数的组合不是线性空间, 而是在物理对称数的变色的线性空间中, 同时要求将组合的平均值扩大到“ 更高” 空间中的值值值。 我们想, 建模框架不仅尊重这两个要求 $ 美元 的正值 确定性和 不变化性 $ 的值, 而且还允许对方向进行精度 方向 和 方向 方向 方向的 方向的 进行精度 精确度 的模型 显示 。 在恒定值 的 的 的 的 和 直态 的 方向 的 的 方向 显示 的 的 的 的 的 显示 一个 的 的 的 的 的 和 的 的 的 直位值 的 的 的 的 直态 的 的 直态 的 直态 的 的 的 的 的 向值 向值 显示 的 的 的 的 的 的 的 的 显示 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 和 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 和 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 和 的 的 的 的