杨辉算书的社会文化启示

2017 年 8 月 11 日 科学出版社 吕变庭

杨辉算书流传下来的主要有《详解九章算法》（12卷）、《详解算法》（不明卷数，辑佚）、《日用算法》（不明卷数，辑佚）、《乘除通变算宝》（3卷）、《续古摘奇算法》（2卷）及《田亩比类乘除捷法》（2卷），这些著作无论足本还是辑佚本，都已成为宋代数学辉煌成就的历史坐标。

杨辉算书的成功经验

（1）“选萃法”与注重算题的典型性和趣味性。如何继承和发展中国古代算法的思想精髓，从而推陈出新，这是编写算术教材的疑难之一。我们知道，杨辉数学教学的经验主要体现在他的“习算纲目”里，但这还远远不够。

实际上，剖析典型例题是杨辉数学教学的一种非常有效的方法。杨辉在《详解九章算法·序》中说：《九章算术》原有246道算题，如果依例题的编排顺序，一道一道地解析，那么就教学过程而言，则未必是一条捷径，同时也不是提高学习效果的有效方法，因为在特定的单位时间里，只有通过典型例题法，才能增强习算者的学习兴趣。所以，杨辉讲解《九章算术》采用的教学方法是特“择八十题以为矜式”，而不是面面俱到。另外，《续古摘奇算法》也是择取了“诸家算法奇题”，实际上它是“先萃法”的又一生动体现。

在解题的过程中，杨辉尽量从多个角度观察和解析问题，因而就出现了大量的一题多解现象。对于习算者来说，反思不同的解题方法，能够促使习算者从不同角度去思考问题，从而启迪思维，锻炼其分析问题的能力。

例如，对于内容相对复杂艰深的重差术，杨辉不是进行繁缛的论证和抽象的分析，而是通过三道典型算题，凝练《海岛算经》的思想精髓，至于“其余”，他认为“好学君子自能触类而考，何必轻传”。他又说：“以隔水望木二题为问，验重差之术，引用《海岛》第一题，好事者得之，自可引而伸之，以开其余。”可见，将启发与引导结合起来编撰算书和习算教材，即成为杨辉“选萃法”的突出特点。

（2）典型算题的选择原则是注重选择与生活实际和社会现实联系比较密切的问题。杨辉在《日用算法·序言》中提出了典型算题的编选原则：“用法必载源流，命题须则实有。” “实有”当然是指我们非常熟悉的问题，是人们在生产实践和生活实际中经常面对的问题，这既是自《九章算术》以来中国传统算术产生和发展的基本前提，同时又是杨辉编撰算术教材的思想指南。这种利用社会生活中的资源来建设课程的做法，对我们现代教育仍有积极的借鉴价值。

恩格斯指出：“和其他所有学科一样，数学是从人们的实际需要上产生的；是从丈量地段面积和衡量器物容积，从计算时间，从制造工作中产生的。”杨辉紧紧抓住田亩与南宋赋税及其与整个封建政治的关系，并将其看作是一切几何问题的基础，他说：“为田亩算法者，盖万物之体，变段终归田势。”此处的“变段”，即用构造图形来进行几何证明，这是刘益和杨辉演段方法的精髓。前面指出，把“直田面积”作为逻辑起点，固然存在着抽象不足的问题，但是在当时的历史条件下，杨辉能够注意到“直田面积”与其他各种几何面积之间的内在联系，以直求曲，其解题思路是正确的。

原因如下：第一，自井田制以来，“直田”始终是平原地区土地经济发展的主要载体，而随着南宋山地农业的开发，“田势”发生了很多变化，各种非直田的田亩形状不断出现，因此，如何计算非直田的面积就成了一个十分现实的经济问题；第二，将“直田面积公式”作为求各种非直田面积的一个“公理”，其中“段”是指各种田势都能转化为“直田”，即用一段一段的面积来表示，刘益认为，通过“段”的变换，则“能穷根源”。可见，“田亩”问题不但是宋代社会经济的重大问题，而且更是杨辉算书的核心论题。

（3）汇集群书，构建算术研究中心。宋代的藏书事业非常发达，国家建立了“三馆六阁”（即“史馆、昭文馆和集贤馆；龙图阁、天章阁、宝文阁、显谟阁、徽猷阁和傅文阁）藏书体系，据《齐东野语》载：”宋宣和殿、太清楼、龙图阁、御府所储尤盛于前代，今可考者，《崇文总目》四十六类三万六百六十九卷，史馆一万五千余卷，余不能具数。南渡以来，复加集录馆阁书目五十二类四万四千四百八十六卷、续目一万四千九百余卷，是皆藏于官府耳。”

与之相适应，宋代还建立了与宋王朝官僚制度一致的秘书监制和馆阁制度。至于私人藏书更是蔚然壮观，例如，“南渡以来，惟叶少蕴梦得少年贵盛，平生好收书，逾十万卷，置之霅川弁山山居，建书楼以貯之”。又绍兴五年（1135年）甲戌“大理评事诸葛行仁献家藏书籍有一千五百卷”；晁公武“书几五十箧……得二万四千五百卷有奇”；郭叔谊“自号肖舟老人，筑室藏万卷书”；明人谢肇淛说：“宋人多善藏书，如郑夹漈、晁公武、李易安、尤延之、王伯厚、马端临等，皆手自校雠，分类精当。又有田伟者，为蒋陵尉，作博古堂，藏书至五万七千余卷”，等等。以藏书家的地区分布来看，浙江位居第一，其次是江苏和江西。这种刻书和藏书之风气，对于浙江形成南宋的数学研究中心是起了关键作用的。我们很难想象一个不喜欢藏书的人，能够在自己的著作中征引那么多同时代算学著作里的算题。杨辉在《续古摘奇算法·序言》中说，当刘碧涧和丘虚谷把他们编集的《诸家算法》奇题请求杨辉板刻时，杨辉更“添摭诸家奇题与夫缮本及可以续古法”者，没有大量的专业藏书，是做不到的。

如果我们把杨辉、刘碧涧、丘虚谷及荣棨等联系起来，同时再结合杨辉的书院教学实际，特别是杨辉所征引的专业性比较强的算术著作，那么，我们有理由相信，当时以杨辉为轮轴，在浙江杭州和苏州一带形成了一个势力比较雄厚的算学研究和传播中心。

（4）把求理与创新作为推动数学发展的精神动力。生产实践是数学发展的物质基础，这是数学史的唯物主义观点。然而，就算学家个体来说，面对同样的生产实践和社会需要，为什么有的算学家就能把数学算题与生产实践相结合，成功地将生产实践所遇到的问题转变为算学问题，并从中总结、概括或提炼出一定的理论方法，比如，南宋的数学家不少，但能够为广大社会民众所认可的算学家，仅仅有秦九韶、杨辉等少数几位。

究其原因，杨辉除了具备一般算学家所共有的专业素质之外，还有一种为其他算学家所不具有的特殊精神素质，那就是杨辉把求理作为自己数学研究和数学教学的最高目标和科学境界，进而在求理的过程中敢于突破前人的思维框架，大胆创新。譬如，杨辉针对习算者普遍感觉《九章算术》“法理难明，不得其门而入”的问题，提出了以追求“算法之尽理”为目标的算学思想。此处的“理”显然是指数学的法则和原理，在杨辉看来，算法可以千变万化，但是算理具有相对的稳定性和不变性，这就是“算无定法，惟理是用”的思想内涵。具体言之，《九章算术》有246题，算法各异，然而从算理的层面讲，可概括如下：

题有分者，随母通之；母不同者，齐子并之；田不匠者，折并直之；数皆求者，互乘换之；差等除实，别而衰之；叠垒积者，以形测之；数隐互者，维乘并之；错糅为问，正负入之；勾股旁要，开方除之；节题匿积，演段取之。

数学方法源于数学原理，因此，在上述各种方法之间能够起贯通作用者，就是那些内在的数学原理。例如，“勾股旁要”法见于贾宪的《黄帝九章算经细草》，它是利用相似直角三角形对应边成比例来进行勾股形计算。杨辉在《详解九章算法》引贾宪“勾股旁要法”云：“直田斜解勾股二段，其一容直，其一容方，二积相等。”

实际上，这即是一条数学原理，刘徽名之曰“不失本率”原理，有的学者称为“容横容直原理”，而“不失本率原理与勾股旁要同为一法，与今之相似勾股形对应边成比例相当”，即勾股定理的证明虽然从表面上看主要是利用了“出入相补”等积转化的方法，但实质上是运用了等积原理来解决问题。又如，“叠垒积者，以形测之”，在此，“叠垒积”（西方称“积弹法”）即高阶等差级数的求和法，它不但在数学史上具有重要意义，而且作为一个普适性较强的“原理”（广义的“垒积”），可广泛应用于粮仓、材料制品、机件立体图等专业领域。

有研究者认为，杨辉三角的性质中有一条是：“以杨辉三角每个数的顶点（下面把每个顶点的数叫做杨辉码），从每个顶点向它的下层最接近的两个顶点画两条有向边，构成一个‘杨辉图’，则每个顶点上的杨辉码恰为从根到此顶点的有向路径的条数。”而这条性质可以看作是分步分类计数原理的应用。当然，探明法理不是为了求理而求理，而是为了在融会贯通的基础上进行科学创新。例如，重差术是《海岛算经》的灵魂，其对于中国古代数学的重要性不言而喻。杨辉非常重视此术，他在《续古摘奇算法》专门设有一节“海岛算题”，不仅为重差术“说其源”，而且更运用“不失本率”原理对“重差术”作了新的发挥，详见“海岛算题”中的“第三题”。

开方作法本源

杨辉科学思想的基本内涵

（1）从“源”上寻找算学方法的精髓。杨辉在阐释传本《海岛算经》的缺陷时说：“《海岛》题法隐奥，莫得其秘。李淳风中注，秪云下法，亦不曾说其源。《议古根源》原无细草，但依术演算，亦不知其旨。自《九章》勾股而有二书，因二书增续诸家之妙。”源即事物发生的根源，在此，杨辉实际上是主张探本寻源的科学研究方法。

他说：“开方乃算法中大节目，‘勾股’、‘旁要’、‘演段’、‘锁积’多用例。有七体，一日开平方，二日开平圆，三日开立方，四日开立圆，五日开分子方，六日开三乘以上方，七日带从平方。并载‘少广’、‘勾股’二章。作一日学一法，用两月演习题目。须讨论用法之源，庶几而无失念矣。”在这里，“讨论用法之源”，也就是说学习和研究任何算学问题，都不要仅知其然，而且更要知其所以然。

在杨辉看来，只有当人们将算法研究深入到“讨论用法之源”的层面时，才能够使问题变得更加明晰，记忆才能更持久和牢固。因此，他编撰算术教材始终以“用法必载源流”为标准，做到阐幽发微，因法明理。例如，学习乘除法不能撇开加减法（乘除的替代方法），当然，加减法本身则具有内在的统一性和互根性，因而“加法乃生数也，减法乃去数也，有加则有减。凡学减，必以加法题答考之，庶知其源”。事实上，这种方法的科学价值主要在于它适应了推广简捷算法的客观需要。

（2）按照教学规律，以学生的能动性和积极性为中心环节，倡导循序渐进，精讲多练，从而形成重在能力培养的教学思想。

在《习题纲目》里，杨辉首先把数学知识看作是一个有机的整体，其中每个部分之间都有内在的逻辑关系，既相互独立又相互联系。

因此，一方面，依据知识的难易程度，杨辉把算学的教学划分成几个阶段；另一方面，确定明确的教学计划，强化基础知识的训练，在此基础上注重知识的拓展和应用。为此，杨辉提出了几个原则：第一，“命题须责实有”，即每一道算题的取舍，都以此为准，体现了杨辉学以致用的教学理念。第二，“因法推类”，即注重数学知识的融会贯通，通过“法将题问”和“随题用法”的教学方法，训练习算者的逻辑思维能力，收到举一反三的效果，如《田亩比类乘除捷法》及《续古摘奇算法》都讲到了“引而伸之”的问题，事实上，杨辉正是围绕这个教学目标来进行算法教学实践活动的。第三，“用乘除为便”，算法力求简捷。

这里包括两层意思：一是遵循思维发展规律，在选择算题时，本着由简到繁的原则，先从简单的算题开始，当夯实了算学基础理论之后，再进行相对繁难之题的练习，故杨辉说：“（题繁）难见法理，今撰小题验法，理义即通，虽用繁题，了然可见也”；二是在解题的过程中，化繁为简，简中求捷，如杨辉解释“重减术”的特点时说：对于“除题位繁者，约之；作两次减，或三次减，位捷必减”。又说：“随题用法者捷，以法就题者拙。”因此，我国学者将杨辉通过“简捷法”得到的算题称为“优美题”，如杨辉对“漆三油四”“持金出关”“有竹九节”“持钱之蜀”等题所作的解析，“都胜于古《九章》原术，都是优美题”，另外，对“勾股章勾股容方题的推导，杨辉证法较刘徽简洁，也是优美题”。

（3）注意细节，使中国古代传统算法更加趋于完美。所谓的教学细节，是指形成于特定的教学情境中，是构成教学行为的外显的最小单位。

在现实生活中，人们往往用“蝴蝶效应”来形容细节与成败的关系，也就是说，“一件表面上看来非常微小、毫不足道的事情，可能带来巨大的改变，甚至造成很严重的后果”。对教学过程来说，细节意识实际上是考察师生是否具有观察问题、发现问题和解决问题能力的重要指标。

杨辉重视细节的数学思想主要表现在以下几个方面：一是在算题的择取方面，重视小题和小法的作用，而《法算取用本末》即是专论“小题”的成功范例。杨辉在解释“小法”与“题算”的关系时，以“罗四百九十一丈五尺二寸”题为例，针对各种算法的繁简特点，得出结论说：“若谓减二繁，则用折半六归代；六归繁，则以加五用九归代，或谓减六繁，用折半八归代；又谓八归繁，更以加二五代之；或三折半代加二五。此秪从人便用，既论小法，当尽其理。”

二是对于算法讲求“思维的经济原则”。例如，杨辉在讲述腰鼓田的算法时，考虑到了这样一个细节：因为《五曹算法》和《应用算法》对于腰鼓田、鼓田、三广田都“作两段梯田取用”，他怕引起习算者的疑惑，于是“立小问图证，免后人之惑也”。又杨辉对《议古根源》“立演段”方法的认同度甚高，认为“知片段则能穷根源”，将求解的数学问题分成“片段”，既符合思维的经济原则，又体现了细节的重要性，而吴文俊机械化方法的基本原则，其本质与此相类。

三是突出细节是为了消除“误碍”。缺少细节的关照，往往是造成算法怪奥而使人难以理解的根源，所以，杨辉认为，在研究算法的过程中，不能为了片面追求“简便”而忽视了细节，例如，他在批评这种学习倾向时说：“因九九错综而有合数、阴阳，凡八十一句。今人求简，止念四十五句，余置不用……岂得有数不用者乎！”另外，在“定位”方面，杨辉主张“恐为学者惑，今立定率术曰：先以乘除本法定所得位，讫而后重互杂法，必无误碍也”。可见，在数学的教学和科研实践过程中，只有重视细节，才能使人们研究问题时更加精确和深入。

中算如何影响世界——以吴文俊为例

吴文俊通过其“几何代数化”思想而用算法和可计算性的观点来分析我国古代数学的发展历史，于是，把我国数学史的研究推向了一个新的历史阶段。

吴文俊为了纠正我国数学史研究过程中过分强调西方数学模式的偏向，提出了研究我国数学史的两条原则：①“所有研究结论应该在幸存至今的原著基础上得出”；②“所有结论应该利用古人当时的知识、辅助工具和习惯用推理方法得出”。

我们知道，吴文俊是现代“定理机械证明”研究第一人，在世界数学史上影响深远。他在总结自己发现这种方法的思想来源时，反复强调一点，即“本人关于数学机械化的研究工作”，是中国古代机械化和代数化思想与成就启发下的产物，“它是我国自《九章算术》以迄宋元时期数学的直接继承”。又说：“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻。”对于几何代数的机械化证明来说，“杨辉三角”是一个经典范例。当然，吴文俊肯定自《九章算术》以来中国古代算学几何代数化方面的重要成就，目的很明确，就是把中国古代的数学思维方法看作是独立于西方逻辑体系之外的另一条数学发展途径，尽管这条途径曾经被人们所忽视，但它确实特色鲜明，生命力顽强。所以，从近代数学发展的大趋势看，“微积分发明属于数学发展的‘主流’，不应排斥或否认中国古代数学对这一主流的贡献”，事实上，解方程恰好是“中国传统数学蓬勃发展的一条主线”。对于这条主线，吴文俊分析它的独特表达方式是：

中国数学的经典著作大都以依据不同的方法或不同类型分成章节的问题集的形式出现。每一各别问题又都分成若干个条目。条目一是“问”，提出有具体数值的问题。条目二是“答”，给出这一问题的具体数值答案。条目三称为“术”，一般说来乃是解答与条目一同种类型问题的普遍方法。实际上就相当于现在计算机科学中的“算法”，但有时也相当于一个公式或一个定理。条目四是“注”。说明“术”的依据与理由，实质上相当于一种证明。宋元以来，可能是由于印刷术的发达，往往加上条目五“草”，记述依据“术”得出的答案的详细计算过程。

杨辉算书确实体现了上述特点，即主要围绕着实际问题而进行算法提炼和方法构造，在此基础上形成了具有中国特色的算学体系，因而《详解九章算法》《日用算法》《杨辉算法》等算学著作中蕴含着丰富的算法思想。对于创新思维而言，我们既需要以推理方式为主导的公理系统思维方法，同时又不能舍弃以算法方式为主导的算法构造思维方式，作为一种优秀的数学文化传统和卓有成效的创新思维，确立解题方法的精确描述需要比较严谨的思维训练，所以如何继承和发展杨辉的算法思想，是我们进行数学课程改革的重要内容之一。

社会需要与数学发展

宋元四大家（秦九韶、杨辉、李冶和朱世杰）是中国古代数学高峰的重要标志，他们创造了许多遥遥领先于世界的数学成就，为人类数学文化的大发展作出了突出贡献。究其原因，除了他们个人的天赋之外，社会需要应是其展开数学创新研究的根本动力。

如前所述，南宋临安的商品经济非常发达，像乡村集市贸易逐渐形成了颇为密集的区域分布网络，故南宋士人刘宰云：“今夫十家之聚，必有米盐之市。曰市矣，则有市道焉。相时之宜，以懋迁其有无，揣人情之缓急而上下其物之估，以规圭黍勺合之利。”对于其城市经济而言，仅据《西湖老人繁胜录》所载，临安商业和服务业已出现了414行，其中服务业有100余行。临安御街两侧及各坊街巷中，无虚空之屋，“大小铺席，连门俱是”。与之相连，群众文化事业空前繁荣，如《武林旧事》卷6《诸色伎艺人》载有临安瓦市有各种伎艺55类，从艺者计514人。据考，杨辉钻研“纵横图”与当时盛行于民间的“九宫智力”游戏有关。尽管这种说法的真实性尚待考证，但“九宫图”在南宋民间的确是事实。

因此，杨辉算题深受这种商品经济发展形势的影响，商业色彩非常浓厚，如《日用算法》即以“秤斗尺田为问”。而商业发展迫切需要既简便准确又易于操作的计算技术，于是，杨辉把改进筹算乘除计算技术和总结各种乘除捷算法作为鞭数学研究与数学教育工作之重点，即是上述商品经济发展的客观产物。从北宋的增成法到算盘的出现，杨辉记录和见证了这一运算工具改革的历史进程，比如，“九归新括”为算盘的早期歌诀。有学者称：从增成法的运算程式看，“九归新括是增成法演变而成”。

我们反复强调，杨辉算书主要是为了教学之用。在南宋，算学已经退出官方教育体系，但是算学发展有其自身运动的客观规律，它的兴盛与衰落主要不是由政治因素而是由社会经济的发展状况决定的。例如，《田亩比类乘除捷法》与南宋山区农田的开发与建设，《乘除通变本末》与南宋城镇商品消费市场的空前繁荣，等等。在此期间，为了维持商品生产和商品交换的顺利进行，没有一定的算学知识显然已经不能适应南宋商品经济快速发展的现实需要了。正是在这样的历史条件下，习算者形成了一个十分广阔的需求市场。而杨辉之所以受到杭州、苏州、台州等地民众的欢迎，主要就是因为他适应了这种市场发展的迫切需要。一句话，社会经济的发展状况决定着特定历史阶段数学进步的层次和水平。

本文摘编自吕变庭著《杨辉算书及其经济数学思想研究》第一章、第十章，内容有删减。

杨辉算书及其经济数学思想研究

吕变庭著

责任编辑：陈亮杨静穆俊

北京：科学出版社，2017.06

ISBN 978-7-03-053467-5

杨辉算书包括的《详解九章算法》（1261年）、《日用算法》（1262年）、《乘除通变算宝》（1274年）、《续古摘奇算法》（1275年）、《田亩比类乘除捷法》（1275年）是中国古代数学高峰时期的重要标志之一，对元明清数学的发展产生了重要影响。杨辉注重算题的典型性和趣味性，注重选择与生活实际和社会现实联系比较密切的问题，他在“算无定法，惟理是用”的原则指导下，主要围绕着实际问题而进行算法提炼和方法构造，并在此基础上形成了具有中国特色的古代经济数学思想体系。

（本期编辑：安静）