豆瓣评分9.4，数学领域超级经典

说到数学领域的经典图书，你可能会在脑海中列出很多。比如图灵就出版过《普林斯顿微积分读本》《具体数学》《线性代数应该这样学》等等。今天我们要说的这本，也是一本数学领域的超级经典，它就是“数学界的莫扎特”、智商超过220、UCLA数学系终身教授，最年轻菲尔兹奖得主——陶哲轩的作品《陶哲轩实分析》。

我们之前出版过陶哲轩的《陶哲轩教你学数学》，收录了陶哲轩15岁时参加奥数竞赛的解题思路，感兴趣的小伙伴可以查看：智商大于220，9岁进大学，15岁写书分享数学思维，31岁获菲尔兹奖...。而今天这本同样是陶哲轩的数学著作。这本书第一版在豆瓣获 9.4 分好评，深受读者喜爱。大家普遍认为，陶哲轩的书写得很友好，阐述了面对不同数学题目时自己的思路、想法，是授人以鱼不如授人以渔的典范！以下摘录了几位读者对这本书的评价。

豆瓣评分9.4

来自豆瓣读者 @ mxd1037622332 对第一版的评论：

首先向陶致敬！不仅仅出于对陶过人的能力，也出于他治学严谨并且从学生角度出发写书的良苦用心。但是对这本书，我想说明另一种观点。这是一本读起来相当令人愉快的书，我感受到的主要由以下三点：

1.文笔是面向学生的，对于种种数学处理都会不厌其烦地说明其思想、出发点等等，并且把大量的证明留给读者。

2.论述极为严谨，几乎不允许在证明中对知觉的直接使用。也因为严谨性的需要，陶将非常多有深度的内容纳入了本书（例如公理化集合论）。

3.陶从哲学以及语义学的深度来评价分析学的对象，其他教材中，我见过能达到这本书的选材的深度以及严谨性（其实还要差一点）的只有卓里奇的那两卷本，但思想深度上仍不及这本书。

但是，除非你是陶的学生，我不推荐你初学分析时就读这本书。这本书的缺点也正是它的优点的必然结果。

1.过于严谨（甚至可以说有一点点苛刻）的论述使得内容的主体难于被初学者掌握。同时，我们并不能认为我们把所有定理都能证明一遍就说我们真正地懂分析，毕竟数学既不能认为仅仅是为了实用而创造的，也不能认为是为了给数学家们娱乐（我确定数学对于陶而言不仅是工作，而且是娱乐）而创造的。

2.这本书的一些术语与概念似乎是陶自己创造的（顶级数学家都有这样驾驭数学的能力），这自然能体现陶“动手做分析”的教学理念，但是这对于天资不是那么出色的初学者们是否适合呢？根据前几篇前辈们的书评，陶几乎没有参考其他书，完全按照自己的理解写的。这与大众化的数学是否会存在一些兼容性问题呢？

个人认为，这是一本顶好的练习证明或者提拔思想时用的书。但是作为系统性的分析教材至少对于像我这样的庸才不太合适。可能卓里奇的风格更适合我。

—— 这位小伙伴给出了非常客观的评价，从两个方面分析了这本书。或许书中的内容对于一些初学者可能有点难度，但是这种数学思维应该是每一个学习数学的人都具备的，至少这一点是相通的。

另外，知乎上，在“《陶哲轩实分析》 里的内容是属于数学分析还是实分析？为什么有人推荐用这本书来入门数分？” 的回答中，首赞答案是这样说的。

作者：张乐陶

来源：知乎

链接：

https://www.zhihu.com/question/33001251/answer/73486102

因为这是一本同时结合了：

1. 极高的现代数学观点，但——

2. 极基础的数学手段

依照最朴实而严谨的逻辑，处理整个分析学体系的神书。这是数学教科书写作的良心！

其实，这样令人动容的场面我也看到过——那是1748年，我曾看到过史上最伟大的数学天才之一写过一本书，内容也是在用他那绝代高端的头脑去整理对他而言相当低端的工作，只为了帮助学生克服当时教学上的困难，那本书叫《无穷分析引论》，作者名叫莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。可惜，著作付梓之际，他已双目失明，无缘得见。但这部教科书毫无疑问是不刊且不朽的杰作，以至于二百年后的大师韦伊也感慨不已。

“今天的学生从欧拉的《无穷分析引论》中所能获得的益处, 是现代任何一本教科书都不能比拟的。” 
                                                           　——安德烈·韦伊（1906-1998）

而这“上一次的福音”，距今竟是几近三百年前的往事了……

特仑苏今日的努力，直追欧拉当年的慈悲。伟大天才对莘莘学子那深挚的爱心，一脉相承！

注：根据陶哲轩的英语名字Terence Tao, 大家亲切地称他为特仑苏·陶。

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Analysis
作者：Terence Tao
译者：李馨

• 亚马逊原版 4.8 星好评

• 源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩 UCLA 教学讲义

本书主要介绍数学分析中的一些内容，以构造数系和集合论开篇，逐渐深入到级数、函数等高等数学内容，举例详实，每部分内容后的习题与正文内容密切相关，有利于读者掌握所学的内容。本书在附录部分还介绍了数理逻辑基础和十进制，突出了严格性和基础性。

作译者简介

作者  陶哲轩 

1975 年出生，享誉世界的澳籍华裔天才数学家，智商超过 220，被誉为“数学界的莫扎特”。12 岁获得国际数学奥林匹克竞赛金牌（这项纪录至今无人打破），2006 年获得数学界的诺贝尔奖——菲尔兹奖，2007 年当选英国皇家学会会士。曾与本•格林合作解决了 2300 年前由欧几里得提出的与“孪生质数”相关的猜想，在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、算术数论等多个重要数学研究领域都取得了卓越成果。陶哲轩15岁时所著的 Solving Mathematical Problems （《陶哲轩教你学数学》）是一本数学解题思路科普书，同样广受读者喜爱。

译者 李馨 

毕业于北京理工大学数学与统计学院，具有多年高等数学、线性代数及概率论授课经验。

目录

第1章　引言　　3

1.1　什么是分析　　3

1.2　为什么要做分析　　4

第2章　从头开始：自然数　　12

2.1　皮亚诺公理　　13

2.2　加法　　20

2.3　乘法　　25

第3章　集合论　　28

3.1　基础知识　　28

3.2　罗素悖论（选学）　　38

3.3　函数　　40

3.4　象和逆象　　46

3.5　笛卡儿积　　50

3.6　集合的基数　　55

第4章　整数和有理数　　60

4.1　整数　　60

4.2　有理数　　65

4.3　绝对值和指数运算　　69

4.4　有理数中的间隙　　72

第5章　实数　　76

5.1　柯西序列　　77

5.2　等价的柯西序列　　80

5.3　实数的构造　　83

5.4　对实数排序　　89

5.5　最小上界性质　　93

5.6　实数的指数运算，I　　97

第6章　序列的极限　　101

6.1　收敛和极限定律　　101

6.2　广义实数系　　106

6.3　序列的上确界和下确界　　109

6.4　上极限、下极限和极限点　　111

6.5　一些基本的极限　　117

6.6　子序列　　118

6.7　实数的指数运算，II　　121

第7章　级数　　124

7.1　有限级数　　124

7.2　无限级数　　132

7.3　非负数的和　　136

7.4　级数的重排列　　140

7.5　根值判别法和比值判别法　　143

第8章　无限集　　147

8.1　可数性　　147

8.2　在无限集上求和　　153

8.3　不可数集　　158

8.4　选择公理　　161

8.5　有序集　　164

第9章　R 上的连续函数　　171

9.1　实直线的子集　　171

9.2　实值函数的代数　　176

9.3　函数的极限值　　178

9.4　连续函数　　184

9.5　左极限和右极限　　188

9.6　最大值原理　　190

9.7　中值定理　　193

9.8　单调函数　　195

9.9　一致连续性　　197

9.10　在无限处的极限　　202

第10章　函数的微分　　204

10.1　基本定义　　204

10.2　局部最大值、局部最小值以及导数　　209

10.3　单调函数及其导数　　211

10.4　反函数及其导数　　212

10.5　洛必达法则　　214

第11章　黎曼积分　　217

11.1　划分　　217

11.2　分段常数函数　　221

11.3　上黎曼积分和下黎曼积分　　224

11.4　黎曼积分的基本性质　　227

11.5　连续函数的黎曼可积性　　231

11.6　单调函数的黎曼可积性　　234

11.7　非黎曼可积的函数　　236

11.8　黎曼{斯蒂尔杰斯积分　　237

11.9　微积分的两个基本定理　　240

11.10　基本定理的推论　　243

第12章　度量空间　　251

12.1　定义和例子　　251

12.2　度量空间中的一些点集拓扑知识　　258

12.3　相对拓扑　　262

12.4　柯西序列和完备度量空间　　264

12.5　紧致度量空间　　267

第13章　度量空间上的连续函数　　272

13.1　连续函数　　272

13.2　连续性和乘积空间　　274

13.3　连续性和紧致性　　277

13.4　连续性和连通性　　279

13.5　拓扑空间（选学）　　281

第14章　一致收敛　　286

14.1　函数的极限值　　286

14.2　逐点收敛和一致收敛　　289

14.3　一致收敛性和连续性　　292

14.4　一致收敛的度量　　294

14.5　函数级数和魏尔斯特拉斯M判别法　　296

14.6　一致收敛和积分　　299

14.7　一致收敛和导数　　301

14.8　用多项式一致逼近　　303

第15章　幂级数　　310

15.1　形式幂级数　　310

15.2　实解析函数　　312

15.3　阿贝尔定理　　317

15.4　幂级数的乘法　　319

15.5　指数函数和对数函数　　322

15.6　说一说复数　　325

15.7　三角函数　　331

第16章　傅里叶级数　　336

16.1　周期函数　　336

16.2　周期函数的内积　　338

16.3　三角多项式　　 341

16.4　周期卷积　　343

16.5　傅里叶定理和Plancherel定理　　347

第17章　多元微分学　　352

17.1　线性变换　　352

17.2　多元微积分中的导数　　357

17.3　偏导数和方向导数　　360

17.4　多元微积分链式法则　　366

17.5　二阶导数和克莱罗定理　　368

17.6　压缩映射定理　　370

17.7　多元微积分的反函数定理　　372

17.8　隐函数定理　　377

第18章　勒贝格测度　　381

18.1　目标：勒贝格测度　　382

18.2　第一步：外测度　　384

18.3　外测度是不可加的　　390

18.4　可测集　　392

18.5　可测函数　　398

第19章　勒贝格积分　　401

19.1　简单函数　　401

19.2　非负可测函数的积分　　405

19.3　绝对可积函数的积分　　412

19.4　与黎曼积分的比较　　415

19.5　富比尼定理　　417

附录A　数理逻辑基础　　421

A.1　数学命题　　421

A.2　蕴涵关系　　425

A.3　证明的结构　　429

A.4　变量与量词　　431

A.5　嵌套量词　　433

A.6　关于证明和量词的一些例子　　435

A.7　相等　　436

附录B　十进制　　438

B.1　自然数的十进制表示　　438

B.2　实数的十进制表示　　441

文末福利

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