差点令金融世界崩塌的数学公式

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差点令金融世界崩塌的数学公式

2017 年 9 月 23 日 算法与数学之美

随着金融危机的发生，金融业界越来越重视金融风险的控制，现在金融风险管理已经成为金融数学研究中的一个重要分支。本文讨论的布莱克-斯科尔斯方程给出了还没完成的金融合同低价的理性依据，开创了复杂的投资新时代，催生出了巨大的全球金融产业。

在Black-Scholes公式中，符号表示这些变量：

σ=标的资产的回报波动/期货，S =其现货价格（当前）;

δ=变动率，V =金融衍生品的价格;

r =无风险利率;

t =时间。

这是投资者的必杀技（holy grail）。Black-Scholes方程，这一经济学家Fischer Black 和Myron Scholes的心血结晶，提供一个合理的给未履行完的财务契约定价的方式。就像在比赛中途买进或卖出一匹马的赌注。它开辟了一个新的越来越复杂的投资环境，绽放成一个巨大的全球性行业。但是当次级抵押贷款(sub-prime mortgage)市场变坏，金融市场的宠儿变成永无止境地吸吮金钱的‘黑洞’。

任何关注危机的人就会明白企业和商品实体经济，被称为衍生产品的复杂的金融工具的抢占风头。这些不是金钱或货物。而是投资中的投资，投注中的投注。衍生工具创建了一个繁荣的全球经济，但同时也导致市场动荡，信贷紧缩，银行体系濒临崩溃和经济衰退。正是Black-Scholes方程开辟了衍生工具的市场。

方程本身不是真正的问题。它是实用的，精确的，其局限性也明确指出。它提供了一个行业标准的方法来评估金融衍生品的可能价值。因而衍生品可以在它们成熟之前买卖。如果明智地使用它和市场条件不适用时放弃它，该公式是好的。麻烦的是其潜在的滥用。它允许衍生工具成为以它们自己的方式交易的商品。金融部门把它叫做Midas公式，视它为可使一切都变为黄金配方。但市场忘了Midas国王的故事是如何结束。

布莱克 - 斯科尔斯支撑大规模的经济增长。到2007年，国际金融体系交易衍生品的价值为每年一万亿美元。这是世界制造业在过去一个世纪所有产品创造价值总值的10倍（调整通货膨胀后）。更加复杂的金融工具的发明的缺点是，其价值和风险越来越不透明。因此，公司聘请了有数学才能的分析师，制定类似的公式，来告诉他们这些新工具的价值和它们的风险。不好的是，他们忘了问当市场条件改变时结果的可信度。

Black和Scholes在1973年发明的方程;Robert Merton不久后提供了额外的评论。它适用于简单，古老的衍生工具：期权。主要有两种：认沽期权赋予买方有权在指定的时间以商定的价格出售商品。看涨期权是相似的，但它赋予的权利，是买，而非卖。方程提供了一个系统化的方法来计算到期前期权的价值。期权可以在任何时间出售。因方程的高效，Merton和Scholes赢得了1997年的诺贝尔经济学奖。（当时Black已去世，他无资格参选。）

1997年诺贝尔经济奖得主Merton与Scholes

任何人都会同意，如果每个人都知道衍生工具的精确的价值，人们怎么赚钱？该公式需要用户估计数值的数量。但用衍生产品赚钱的主要方式，赢得您的赌注 - 买以后可以以更高的价格出售的，或比预期具有较高的价值的成熟的衍生工具。赢家从失败者获得他们的利益。在任何一年，介于75％和90％之间的期货贸易商都赔了钱。当次贷泡沫破灭时，全球的银行失去了数百十亿美元。在随后的恐慌中，纳税人被迫依据法案，但法案是政治，而不是数理经济学。

布莱克 - 斯科尔斯公式涉及四个量。三个可以直接测量：时间，安全期货资产的价格，无风险利率。这是理论的利率，指投资人可以零风险赚取利润，如政府债券。第四个量是该资产的波动性。这是描述市场价值变化的不稳定的量。该公式假定资产的波动性保持不变，这是需要修正的。波动可以通过价格变动的统计分析来测定，但它不能精确测量，不能保证万无一失，测量与现实不相符合。

许多金融模型背后的想法可以追溯到1900年的Louis Bachelier，他认为股市波动可以用被称为布朗运动的随机过程来建模。在每一个瞬间，股票价格或者增加或减少，该模型假定这些事件有固定的概率。它们可能是等可能的，或某个比其它的可能性大。这就像人站在街道上，反复掷硬币来决定是否向前移动一小步或向后，他向前向后反复无常。他的位置对应股票价格，随机上涨或下跌。布朗运动的最重要的统计特征是它的均值和标准差。均值是短期的平均价格，通常在一个特定的方向漂移，上升或下降取决于股市。标准差可以认为是价格偏离均值的平均量，它有标准的统计公式来计算。对于股票价格，这被称为波动，它衡量价格波动的稳定性。在时间价格图上，波动对应锯齿状的曲折走势。

布朗运动

莱克 - 斯科尔斯实现巴舍利耶的想法。它不直接给出期货的（它应该被出售或购买的）价格。这是数学家称为的偏微分方程，表达了就其它变量变化时价格的变化率。方程提供了具体的认沽期权的价值公式，看涨期权公式，幸运的是方程可以求解。

布莱克 - 斯科尔斯的早期成功，鼓励金融部门发展一系列针对不同的金融工具的相关方程。传统银行可以利用这些方程，评估贷款和交易，预测潜在的麻烦。但是，多的传统银行，没那么谨慎。很快，银行也随之进入越来越多的投机企业。

任何现实的数学模型依赖于简化和假设。建立在套利定价理论基础上的Black-Scholes方程，其中浮动和波动是不变的常数。这个假设在金融理论中很普遍，但对真正的市场往往是不对的。方程式还假定没有交易成本，卖空没有任何限制，钱总是可以以一个已知的，固定的，无风险利率借出和借入。但现实往往是非常不同的。

次贷危机相关金融产品链示意图

因为股市大波动应该是极为罕见的，这些假设是有效的，风险通常也很低。但1987年10月19日，黑色星期一，全球股市在几个小时内失去超过20％价值，。根据模型的假设，这种极端事件几乎是不可能的。金融数学方面的专家，Nassim Nicholas Taleb，在他的畅销书《黑天鹅》中，称之为这种黑天鹅般的极端事件。但在1697年，荷兰探险家Willem de Vlamingh在后来被称为‘澳大利亚天鹅河’发现了大量黑天鹅。因此，现在这句话是指一个假设，在事实上会出现，但随时可能被广泛讹传。

股市的大幅波动是比布朗运动的预测更为常见。原因是不切实际的假设 - 忽视潜在的黑天鹅。但通常模型非常适用，随时间的推移信心也增强了，许多银行家和交易员忘了该模型有其局限性。他们把使用的公式作为一种护身符，如果出了差错，数学魔术可以保护他们免受批评。

银行，对冲基金和其他投机者很快就在以大数量交易复杂的衍生工具，如信贷违约互换（credit default swaps）。它们定价后也视为资产。这意味着它们可以作为其他采购的安全支付。当一切都变得更复杂，模型用来评估价值和风险与现实偏离越来越远。某处下面是房地产，市场假定属性值将保持永远上升，故这些投资无风险。

布莱克 - 斯科尔斯方程在数学物理中有解的，解定义在实数轴上，时间连续的和变化率光滑的。这种模型在金融世界中可能是不恰当的。传统的数理经济学并不总是符合现实，它失效时，严重失效。因此，物理学家，数学家和经济学家都在寻找更好的模型。

在这些努力的最前沿，是复杂性科学（complexity science），一个新的数学分支，把市场建模为一按照指定的规则的个人相互作用的集合。这些模型显示一哄而起的群体心理（市场交易商复制其他市场交易者行为）的破坏性影响。几乎每一个在上个世纪的金融危机就是被一哄而起的群众推到边缘的。它使一切在同一时间破产。如果用工程师们的看法，一架桥梁倒下，其它所有的也会倒下。

通过学习生态系统，知道经济模式的不稳定是常见的，主要是因为金融体系的设计不良。用点击鼠标来转移数十亿美元的设施，可能会允许越来越快的利润，但它也使股市冲击的传播更快。

金融崩溃应归咎于方程？该还是不该。布莱克 - 斯科尔斯可能导致崩溃，但仅仅是因为它被滥用。在任何情况下，方程仅是一个在不负责任的金融，政治无能，激励倒错和监管不严的丰富炖汤中配料的一种成分。

尽管其所谓的专业知识，金融部门没有比随机猜测的执行的更好。股市已经度过了20年，不知路向何方。该系统太复杂，以致不能依据错误预感和直觉运行，但目前的数学模型不能充分代表现实。整个系统是知之甚少，岌岌可危。世界经济迫切需要进行大刀阔斧的改革，那需要更多的数学，而不是更少。这可能是火箭科学（rocket science），但它不是魔术。

作者：Lan Stewart 译者: 李季

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