布洛赫波和布里渊区

2018 年 7 月 18 日 中科院高能所

撰文 | 张天蓉

本文为张天蓉《硅火燎原》半导体的人和事系列科普文章之一，经作者授权转载，如需二次转载请联系作者获取授权。

1928年，当爱因斯坦、波尔等人，正在为如何诠释量子力学而争论不休的时候，量子理论创始人之一维尔纳·海森堡的学生，另一个姓‘布’的青年人，却另辟蹊径，独自遨游在固体的晶格中。

他就是瑞士物理学家、1952年诺贝尔物理奖得主费利克斯·布洛赫（FelixBloch，1905年－1983年）。那年他23岁，企图用量子力学，来解释电子是如何“偷偷地潜行”于金属中的所有离子之间的。电子在晶体中的运动，可以看成是自由电子在原子周期势场中的运动。既然势场是一个周期函数，布洛赫很自然地想到使用处理周期函数最强大的工具：傅立叶分析。布洛赫将此方法用于薛定谔方程，再进行一些近似和简化之后，高兴地发现自己得到了一个很好的结果，他把它用来解释金属的能带，并写进了他的博士论文“论晶格中的量子力学”中【5】。

电子在晶格中的运动本是一个多体问题，非常复杂，但布洛赫作了一些近似和简化后，得出的结论直观而简明。他研究了最简单的一维晶格的情形，然后再推广到三维。

首先，如果不考虑晶格原子对电子的库仑作用的话，电子的表现应该如同真空中的自由电子，薛定谔方程有平面波解，电子能量的本征值与波矢k的平方成正比，如图8a所示。

图8

然后，再将晶格原子的作用作为一种平均的周期势场的微扰引入到薛定谔方程中，这时得到的解只是在原来平面波的基础上，在振幅部分加上了一个与晶格周期相同的调制。也就是说，在周期势场中，薛定谔方程的解是一个平面波e^ikr和一个周期函数u(r)的乘积：

ψ(r) = u(r)e^ikr （7.2）

公式（7.2）中，平面波部分体现了电子的公有化，即电子‘自由’的程度；周期函数则表现了固体中晶格上的离子对电子运动的影响，即电子‘被束缚’的程度。固体物理中将这种波动形式称为布洛赫波，因为它于1928年由布洛赫导出。然而实际上，这种解答形式及其数学基础早在布洛赫波导出的四十多年之前就已经被法国数学家加斯东·弗洛凯（GastonFloquet，1847年-1920年）研究过，因此，这在常微分方程中被人们称为弗洛凯理论。

晶体中的周期势场不是时间的函数，所以，公式（7.2）是不含时间的定态薛定谔方程的解。求解定态薛定谔方程，实质上是求解能量本征值的问题，波函数则是与这些能量本征值相对应的本征函数。

对固体中的电子，因为周期函数u(r)具有与晶格相同的周期d，当r平移d的时候，波函数将只是相差一个相位因子。波函数的平方则表示共有电子在晶格中出现的概率，这个概率是平移不变的。而与波函数相对应的能量本征值，则在波矢空间中具有平移不变性。

图8a所示的自由电子能量波矢曲线，是在势场为0的情形下得到的抛物线。当然，零势场同样也可看作是周期势场，为了使自由电子的能量本征值也符合平移不变性的要求，可将图8a中的抛物线，沿着最小的倒格子原胞边界（图中的π/d和-π/d轴）反复折叠，最后得到图8b所示的曲线。

虽然一眼看去，图8b比图8a要复杂多了，但仔细研究，则不难发现图b中曲线的平移对称性。也就是说，图b中的曲线是沿横坐标轴重复的。因而，我们不需要整个曲线，就只需要留下它的不重复部分就足够了！这就有了图8c，它是简约后的图8b。

对照一下图8a，其中的横坐标k可以取从负无穷到正无穷的任何数值，而在图8c中，k值可取的范围只从-π/d到π/d。变量取值范围从无限变成有限付出了代价，这时的能量变成了波矢的多值函数，这个多值函数包含了图8a中那条抛物线的所有信息。

刚才的叙述中我们还说过，简约图中k值可取的范围是叫做‘最小的倒格子原胞’。这个最小原胞，常常被称为‘第一布里渊区’【6】，是为了纪念我们这儿要介绍的最后一位‘布’先生-布里渊。

法国物理学家莱昂.布里渊（Léon Brillouin，1889–1969），不仅定义了倒易空间中的布里渊区，对量子力学和固体物理的其它方面、以及信息论，都有所贡献。他早期在法国做物理研究，四十年代来到美国，曾经任职于哥伦比亚大学、IBM等，1969年在纽约去世。

图9 布里渊区

如上所述，在数学和固体物理学中，第一布里渊区（Brillouin zone）是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。一维的第一布里渊区很简单，只是一段k值可取的范围（-π/d到π/d）。即使扩大到第二布里渊区，也只不过是将取值范围分别向两边扩展而得到两个新的线段：（-2π/d, -π/d）和（π/d, 2π/d）；第三布里渊区也是用类似的扩展而得到。如果是2维或3维的情况，就要复杂多了，从图9中的两个例子可以看出这点。图9a中，中间的白色方块是二维正方晶格的第一布里渊区，其余的颜色从中间向外扩展，分别对应着第二、三、四布里渊区。图9b则只是画出了面心立方晶体的第一布里渊区。通常用到的也只有第一布里渊区。

第一布里渊区的重要性在于：晶体中的布洛赫波能具有的所有能量值，可以在这个区域中完全确定。图8中的1维自由电子的能带图，从图8b，简约后得到图8c，便是基于这个道理。

再回头看图8中的（d）和（e），它们显示的是周期势场不为0的情况。因为离子周期势场的影响，原来图8a中的抛物线形状遭到了破坏，如图8d所示。这个‘破坏’主要是发生在布里渊区的边界上，也就是那些满足布拉格衍射方程的那些k值。为什么发生这种情形呢？因为在远离这些边界值处，电子仍然可以近似地视为自由电子，符合平方（抛物线）规律，而在这些k值附近，周期势场傅立叶展开后的分量值比较大，势场值对电子运动的束缚作用加强，在布里渊区边界处破坏了原来曲线的连续性。也正是这种‘破坏’，使得简并的能级发生分离，从而产生了禁带。从物理角度来解说，则是因为晶格对这些波矢量的平面波强烈反射，反射波与原来的波叠加相干，从而形成驻波，不再具有原来那种携带能量到处传播的平面波形态。换言之，共有电子原来可以具有的某些能量值不复存在，这些能量值的范围形成了禁带。图8d和图8e中的橙色区域便是禁带。图8e中，类似于图8c中自由电子的情形，我们只显示了在第一布里渊区的简约能带图。

参考资料

【5】Felix Bloch (1928). "überdie Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern". Z. Physik 52:555–600. Bibcode:1929ZPhy...52..555B. doi:10.1007/BF01339455

【6】Brillouin, Léon (1930). "Lesélectrons dans les métaux et le classement des ondes de de Brogliecorrespondantes". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académiedes Sciences 191 (292)

《硅火燎原》系列