证明费马大定理 | 2016年Abel奖

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Andrew J. Wiles爵士

挪威科学与文学院决定将2016年的Abel奖授予牛津大学的Andrew J. Wiles爵士（62岁），以表彰“他通过半稳定椭圆曲线具有模性的猜想，令人惊叹地证明了Fermat大定理，从而在数论领域开创了一个新时代。”

获奖者简介

1953年4月11日，Andrew J. Wiles出生于剑桥，1974年在牛津大学Merton（墨顿）学院获得数学学士学位，1980年在剑桥大学Clare（克莱尔）学院获得博士学位。Wiles于1981年在新泽西的高等研究院度过了一段时期后，成为普林斯顿大学的教授。在1985—1986年，Wiles是巴黎附近的高等科学研究院和巴黎高等师范学院的Guggenheim教授。在回到普林斯顿大学之前，Wiles是牛津大学的皇家学会研究教授。2011年Wiles作为皇家学会研究教授重新加入牛津大学。

Andrew J. Wiles获得过数学和科学领域的一些重要奖项，包括Rolf Schock奖，Ostrowski （奥斯特洛夫斯基）奖，Wolf（沃尔夫）奖，英国皇家学会的Royal Medal奖，美国国家科学院的数学奖以及邵逸夫奖。国际数学联盟（International Mathematical Union）授予他迄今为止首次颁发的银质奖章。他并被授予 Clay（克莱）研究奖。2000年，获封骑士勋章。

Andrew J. Wiles是皇家学会会员，他是美国国家科学院和法国科学院的外籍院士。他拥有牛津大学，剑桥大学，哥伦比亚大学，耶鲁大学，华威（Warwick）大学和诺丁汉 （Nottingham）大学的荣誉学位。

学术经历

德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）是因证明定理而获得国际广泛关注的为数不多的数学家。他于1994年攻破了数论界千古之谜“费马大定理”（Fermat's Last Theorem）。

怀尔斯的证明，不仅是他事业的顶峰，数学界划时代的时刻，也是其长达三十多年卓越人生旅程的巅峰。1963年，年仅十岁的剑桥小男孩怀尔斯在当地图书馆看见了写有“费马大定理”的一本书。也就是:当时没有正整数解。怀尔斯被这个问题迷住了，这是一个三个多世纪以来难倒了一代又一代数学家们的不解之谜。“从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它”，他说，“我必须解决它”。

在完成了牛津大学墨顿学院的数学学士学位课程后，怀尔斯返回剑桥大学克莱尔学院继续深造。他的研究方向是数论，主要研究数字性质的一种数学领域。在导师约翰·科茨（John Coates）的引领下，怀尔斯开始研究椭圆曲线理论，一种与测量行星轨道周长有关的方程式。他和导师共同取得了初步成就，证明了椭圆曲线中最重要的猜想“伯奇&斯温耐顿&代尔 （Birch-Swinnerton-Dyer）1）猜想的特殊情形”。1980年，怀尔斯取得了博士学位，他的毕业论文题为“反比定律2)及伯奇&斯温耐顿&代尔猜想（Reciprocity laws and the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer）”。

1977—1980年间，怀尔斯任哈佛大学助理教授，并开始研究模形式论——一个区别于椭圆曲线的独立领域。他与巴里·马祖尔（Barry Mazur）开始合作，并于1984年一起证明了数论领域中岩泽理论的主要猜想。1982年，怀尔斯任普林斯顿大学（Princeton University）教授。

在学术生涯的初期，怀尔斯并没有直接开始研究“费马大定理”，当然其他人也没有。因为它被公认为是非常难解决，甚至可能是不能被解决的谜题。转折点发生在1986年。这个困扰了数论界三百多年的谜团，可能在椭圆曲线和模形式论的基础上得以攻破。命运之轮转动了，怀尔斯精通的两大现代领域协助他证明了“费马大定理”。于是他决定开始研究这个从孩童时代就令他着迷的问题。“要挑战最严苛的困难”，他说。

怀尔斯还做出了另一个不寻常的决定，要完全独立地研究“费马大定理”，不与他人合作。他认为“费马大定理”太过知名，关于他在研究“费马大定理”的事情会引起太多人的关注，这样不利于自己精力集中。他唯一想要倚靠的是他的妻子内达（Nada），他们是在怀尔斯开始着手研究“费马大定理”不久后结的婚。

经过七年艰苦卓绝的研究，怀尔斯认为他实现了“费马大定理”的证明。他决定在英国剑桥大学的一次学术会议上向外界公布这个消息。在此之前，他没有向外界透露。他演讲的题目名为“模形式论3）、椭圆曲线以及伽罗瓦陈述4）”，之前数学界已经听到了些风声，两百多人慕名前来。当怀尔斯陈述完“费马大定理”的证明时，会场上爆发出持久的掌声。

之后的一年，负责审阅怀尔斯研究成果的专家组发现了证明中存在的一个缺陷。这给怀尔斯本以为已经攻克了“费马大定理”的判断造成了毁灭性打击。他着手开始修正错误，并邀请曾经的校友理查德·泰勒（Richard Taylor）和他一起并肩作战。一年后，怀尔斯找到了修正错误的方法。“这是超乎想象的一次启示”，怀尔斯在BBC录制的一档纪录片中激动的说，“这是我工作生涯中最重要的时刻。”

宣布著名定理被证明了这件事本身就已经很不寻常，而又再返工纠正一个错误就更不一般了。怀尔斯的精力几乎已经耗尽。修正后的证明得到了完全肯定，题为“模形椭圆曲线1）与费马大定理（Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem）”的论文发表在了1995年的《数学年刊（Annals of Mathematics）》上。

声望和荣誉纷至沓来。怀尔斯先后获得肖克奖（Rolf Schock Prize），奥斯特洛夫斯基奖 （Ostrowski Prize），沃尔夫奖（Wolf Prize），英国皇家学会的Royal Medal奖，美国国家科学院的数学奖以及邵逸夫奖（Shaw Prize）。此外，他还收到了国际数学联盟（International Mathematical Union）迄今为止首次颁发的银质奖章，并被授予克莱研究奖（Clay Research Award）。2000年，获封骑士勋章。

       德鲁·怀尔斯在牛津大学数学研究所外，该大楼以其名命名。

除了短暂离开，怀尔斯于1982—2010年间一直留在普林斯顿。2010年，他返回牛津，任皇家学会研究员。他所在的数学研究所，于2013年以他的名字被命名为安德鲁·怀尔斯楼。

荣誉奖励

Andrew J. Wiles获得过数学和科学领域的一些重要奖项，包括Rolf Schock奖，Ostrowski （奥斯特洛夫斯基）奖，Wolf（沃尔夫）奖，英国皇家学会的Royal Medal奖，美国国家科学院的数学奖以及邵逸夫奖。国际数学联盟（InternationalMathematical Union）授予他迄今为止首次颁发的银质奖章。他并被授予 Clay（克莱）研究奖。2000年，获封骑士勋章。

Andrew J. Wiles是皇家学会会员，他是美国国家科学院和法国科学院的外籍院士。他拥有牛津大学，剑桥大学，哥伦比亚大学，耶鲁大学，华威（Warwick）大学和诺丁汉 （Nottingham）大学的荣誉学位。

背景资料

数论这一古老而又美丽的数学分支涉及的是整数运算性质的研究。在其现代形式中，该主题在本质上与复杂的分析、代数几何以及表示理论密切相关。数论最终会通过通信、金融交易和数字安全的加密算法在我们的日常生活中发挥重要作用。

费马大定理由皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）在17世纪首次提出,该定理断言当n>2时,方程

没有正整数解。费马本人证明了n=4的情形，莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler）证明了n=3的情形，苏菲·姬曼（Sophie Germain）证明了适用于无穷多素数指数的第一个一般性结果。恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）对这一问题的研究揭示了代数数论中的几个基本概念，例如理想数和唯一因子分解定理。安德鲁·怀尔斯发现的完整证明依赖于数论中另外三个概念，即椭圆曲线、模形式和伽罗瓦（Galois）表示。

椭圆曲线是通过由两个变量构成的三次方程定义的。它们属于尼尔斯·亨利克·阿贝尔 （Niels Henrik Abel）提出的椭圆函数这一概念的自然范畴里。模形式是在复平面上的上半部分定义的高度对称的解析函数，并通过称为模曲线的形状自然表示出来。椭圆曲线如果能够通过这些模曲线之一的映射而参数化，就会被认为是模的。模性质猜想由志村五郎（Goro Shimura)、谷山丰（Yutaka Taniyama）和安德烈·韦伊（André Weil）在 20世纪50—60年代提出，声称在有理数范围内定义的每个椭圆曲线都是模的。

1984年，格哈德·弗雷（Gerhard Frey）将半稳定椭圆曲线与费马大定理的任何假设反例关联起来，并强烈地感觉到此椭圆曲线不会是模的。弗雷的非模性在1986年由肯尼斯·瑞贝（Kenneth Ribet）通过让-皮埃尔·塞尔（Jean-Pierre Serre）的-猜想所证实。因此，证明了志村-谷山-韦伊的半稳定椭圆曲线的模性质猜想也就证明了费马大定理。然而，当时模性质猜想被广泛认为是完全不可理解的。因此，当安德鲁·怀尔斯在他1995年发表的突破性论文中介绍他的模性提升技术，并证明半稳定情形下的模性质猜想之后，他在这方面取得了惊人的进展。

怀尔斯的模（modularity，应为“模性”——编注)提升技术涉及椭圆曲线上阿贝尔群结构中有限阶点的伽罗瓦对称性。基于巴瑞·马资尔（Barry Mazur）对此伽罗瓦表示的变形理论,怀尔斯确定一个数值标准，确保阶点的模性质提升到阶点的任何次幂的模性质，其中是一个奇素数。然后，此提升的模性质足以证明椭圆曲线是模的。该数值标准在半稳定情况下通过使用与理查德·泰勒（Richard Taylor）共同撰写的重要配套论文所确认。

罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）和杰罗德·滕内尔（Jerrold Tunnell）的定理表明，在许多情况下，由阶点3给出的伽罗瓦表示具有模性质。通过将一个素数巧妙地转换到另一个素数，怀尔斯论证，在其余情况下，由阶点5给出的伽罗瓦表示具有模性质。这样就完成了他的模性质猜想的证明，因此也证明了费马大定理。

由怀尔斯引入的新思路对于许多后续发展极其重要，包括克利斯朵夫·布勒尔 （Christophe Breuil）、布莱恩·康拉德（Brian Conrad）、弗雷德·戴蒙德（Fred Diamond）和理查德·泰勒（Richard Taylor）在2001年对该模性质猜想的一般情况证明。就在刚刚过去的2015年，努诺·弗雷塔斯（Nuno Freitas）、保维勒鸿（Bao V. Le Hung）和萨米尔·思科谢科（Samir Siksek）证明了实二次数域的类似模性质断言。对费马大定理的证明，包含一段丰富的数学史，且颇具戏剧性，很少有其他的成就能与之相提并论。

Abel奖简介

       阿贝尔（Abel）奖是一项挪威设立的数学界大奖。每年颁发一次。2001年，为了纪念2002年挪威著名数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔二百周年诞辰，挪威政府宣布将开始颁发此种奖金。自2003年起，一个由挪威自然科学与文学院的五名数学家院士组成的委员会负责宣布获奖人。奖金的数额大致同诺贝尔奖相近。设立此奖的一个原因也是因为诺贝尔奖没有数学奖项。2001年挪威政府拨款2亿挪威克朗作为启动资金。扩大数学的影响，吸引年轻人从事数学研究则是设立阿贝尔奖的主要目的。

        Abel奖由挪威科学与文学院颁发。获奖者的挑选基于 Abel奖委员会的推荐，该委员会由 5名国际认可的数学家组成。委员会当前的成员是：JohnRognes（主席），Marta Sanz-Solé，Luigi Ambrosio，Marie-France Vignéras和BenJ. Green。

       Abel奖及其相关活动由挪威政府资助。获奖人及其成就和 Abel奖的更多信息，请查阅Abel奖的万维网站www.abelprize.no。

附录

历届Abel奖得主
年份	得主及其获奖时所在单位
2003	Jean-Pierre Serre（法国法兰西学院）
2004	Sir Michael Francis Atiyah（英国爱丁堡大学） Isadore M. Singer（美国麻省理工学院）
2005	Peter D. Lax（美国纽约大学库朗数学科学研究所）
2006	Lennart Carleson（瑞典皇家技术学院）
2007	Srinivasa S.R. Varadhan （美国纽约大学库朗数学科学研究所）
2008	John Griggs Thompson（美国佛罗里达大学）              Jacques Tits（法国法兰西学院）
2009	Mikhail Leonidovich Gromov（法国高等科学研究院）
2010	John Torrence Tate（美国得克萨斯大学）
2011	John Milnor（美国纽约石溪大学）
2012	Endre Szemeréd i（匈牙利科学院数学所及美国新泽西州立罗特格斯大学）
2013	Pierre Deligne（美国普林斯顿高等研究院）
2014	Yakov G. Sinai （美国普林斯顿大学及俄罗斯科学院Landau理论物理研究所）
2015	John F. Nash, Jr.（美国普林斯顿大学）             LouisNirenberg（美国纽约大学库朗数学科学研究所）
2016	Sir Andrew J. Wiles（英国牛津大学）
2017	Yves Meyer（法国巴黎萨克雷高等师范学校）

参考文献:

1、《Fermat's Last Theorem》，作者：Simon Singh

2、维基百科（Wikipedia）

3、美国数学学会会志（Notices of theAMS）

4、邵逸夫奖官方网站（Shawprize.org）

来源：《中国数学会通讯》2016年第1期

「予人玫瑰, 手留余香」

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