一道皮皮物理题的皮皮解法

2018 年 1 月 29 日 算法与数学之美

“

从前，有一位叫做马克思普朗克(Max Planck)的很帅的物理学家。有一天，他正在思考黑体辐射问题。他看了一下旁边的钟正一秒一秒的过去。于是他突发奇想，会不会能量也是像钟的秒针这样，是一份一份的走的呢。于是他建立了量子理论，普朗克的钟(单身可撩)的故事也由此传开...

”

最近普朗克的钟看到了一本很神奇的书，叫做《200道物理学难题》。

里面的题是一道比一道皮，其中的第五题特别有意思：

这道题初一看很简单，但是想要证明出来并不容易，正常的思路无非就是写出vt=x 来求解，但是跟题目的问题很难联系上。

答案提示了两种方法，分别是时空图和变换参考系的方法，都极其精妙。

首先是时空图。简而言之就是在这个平面的基础上增加一个t坐标如图：

因为相碰要求的是时间和空间上的相等，所以就抽象成了一个三维的碰撞，我们就可以用几何知识来解决这个问题。逻辑大概是这样：我们假设只有3 和4没有相撞过，那由1 2 3相撞可以得出1 2 3共面，同理可得2 3 4共面，于是可得1 2 3 4均共面，所以由3 4不平行，所以3 4 必定相交，即相碰。

第二种方法更为巧妙。我们任意选取一个人为参考点，比如1。那么由题意，1的轨迹变成了一个点，而其他的点变成了不同的直线。这时我们考虑2和3，他们都与1相撞过，所以他们必定在1相交。而2和3在除了1之外的点还相交过，所以他们只能是两条重叠的线了。同理我们可以得到所有线均重合。但是3 和4相交还缺少一个条件，那就是他们的速度在1参考系下不能相等，而我们知道他们的原速度=1参考系速度+在1参考系下的速度。所以如果他们在1参考系下速度相等的话他们的原速度也一定相等，而这与题设是矛盾的（这儿的速度均为矢量）。所以3和4也一定会碰撞。

这两种方法可以说都是蒂花之秀，但是说实话，没有做过这道题，或者没有这种方法概念的人是很难想出这种方法的，所以小钟就想了一下还有没有其他方法可以做这道题。

我们简单的想一下，这道题可能需要哪些基础知识，很简单，就只有vt=x这样一个运动学公式，那有没有方法可以只用这个公式推出结论呢？我们先画出图像来找下思路：

这是一个很有特点的图，由6个节点组成，有8个边，其中四组边都位于同一条直线上。而他们之间的距离我可以用xi来表示。而他们之间的关系很简单，就是vt=x，刚好是一个很好看的线性方程组，所以我们很自然的想到用线性代数来做这道题。

线代的图论里有这么一个玩意儿，它可以把图的节点和边联系起来，比如x1这条边，它是从1 流向2的，所以我们标记这条边为 [-1 1 0 0 0 0], 后面的0表示这些条边与这些点没有关系，那么我们就可以把整个图形写成一个矩阵，即：

这个矩阵叫做图的关联矩阵（Incidence matrix）。它有很多用处，比如我们来乘以一个矩阵T，Ti是每个点的时间，即

那么T*A就可以得到:

这个t就是时间差。也就是说通过这个matrix A，我们来左乘他就把每个节点之间的函数（即时刻）变成了每个边上的函数（即时长）

同理我们可以把x写出来，即

我们再来找V，这个更电流里面的电阻很像（其实整个这个系统都是相似的），我们用一个叫做数值矩阵（其实就是对角矩阵）的东西来写他，简单的说就是一个n by n矩阵，只有在对角线上才有值，其余都是0。这样写出来就相当于是我们可以控制每t中的每一行我们乘的都是不同的v，而又不会改变这个矩阵的大小。即

(这儿要注意的是要根据v和t的对应关系来写顺序，由于是匀速运动，所以同一条直线上v相等)

这个时候我们全部需要做得就是求等式. 这里我们把原先的未知函数X堪称一个矢量，我们再来看看那个图，这个图的特点在于他是由四条直线决定的，而者四条直线是由四个点确定的，所以说矩阵x的秩(rank)是4（之所以强调x是矢量就是为了规避r<n的法则）。（其实到这儿熟悉的同学已经可以结束了，因为这是一个列满秩矩阵，他要么有0个解，要么有1个解，而显然他是有解的，因为题中说了他满足了）。

Rank是线代中特别重要的一个概念，简单来说就是这个矩阵，只有4个方程在起作用，其他的都可以由推导出来。好，那我们再回到这个方程本身，我们现在相当于知道了6个方程，而我们只需要知道4个就可以得出整个方程，所以最后两个等式也是成立的。（当然这儿也可以由v的特征值来得出，不过讲道理的话这些概念都是联系在一起的，相当于用1级和2级结论来推而已）

整个这个思路体现的其实是线代在图论中的应用（核心当然就是那个A），很多好玩儿的结论都可以推出来，比如Markov Chain，再比如六度分割理论，就是说世界上任何两个人可以通过不超过六个人联系起来（怕是整个公众号的读者更小钟的联系超不过3，所以再次跪求大家帮忙推广一下，争取到4）

那么这道题这样做有什么好处呢，首先我觉得就是这个方法本身是很容易想到的，其次的话由于我们没有限制x是几维的，所以我们可以把这个拓展到3维甚至更高。而如果题真的是3维的话，恐怕用第一种方法是做不出来的，至少在我10块钱10本的廉价草稿纸上是画不出第4根垂直的坐标的（听说有个叫爱因斯坦的家伙可以，不过那个草稿纸多半很贵所以买不起）

上面的方法呢其实只用到了一点线代的皮毛，但是作用还是很大的，顺便给大家推荐一个公众号叫马桶靴高等数学。很多重要的概念，包括几乎整个线代在里面都是用图来讲解的，写的非常好。

线性代数应该是大多数人（也是小钟本人）一辈子第一个抽象的数学内容（学完线代再回去看什么微积分简直是形象的不得了）。无奈受制于这个科目本身的性质和国内大多数教材编排的方式呢，初学的时候很容易一头扎进计算里起不来。我当时也是以为线代最大的作用就是让我做电阻的题不用思考，记得最清楚的一次就是列完方程之后发现计算器解不了那么高阶的东西，如果当时知道rank的知识的话进行化解应该是很轻松的。

线代最重要的在我看来还是思维上的改变。把问题的信息抽象出来，把矩阵中的每一个值根据自己的需求使用而不仅仅是一个数字，建立抽象的内容。最大的区别就在于“抽象”这两个字。对于一个问题，小学的时候我们可能把问题画个图，甚至还买点积木来自己拼，这些都是形象化。而线代就是给你个工具让你把东西抽象出来，比如上面这个我有图，但是来的不如我抽象成矩阵轻松。这种思维上的转变才是线代学习的核心内容。

至于线代的重要性的话，用Professor Lay的话来说就是cannot be over-estimated，中文叫做“罄(qing)竹难书”。所以......不知道怎么结尾了，就祝大家新年快乐吧！

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来源 | 普朗克的钟