《基于大语言模型的数学推理与优化研究综述》

**I. 引言

数学作为人类认知的基石，支撑着自然科学、工程学、医学、金融、计算机科学和社会科学等诸多领域。自20世纪60年代初以来，开发能够自主解决数学应用题的计算模型，一直是自然语言处理（NLP）领域的重要研究方向[1]–[4]。这一追求不仅关乎算术与代数表达式的求解，更旨在推动通用推理机制的发展，而后者是实现人工通用智能（AGI）的关键[5]。通过攻克数学推理的复杂性，研究者力图拓展AI系统的逻辑演绎能力及其对符号知识的理解与操纵水平。

早期数学应用题求解方法主要依赖统计学习技术[6]–[9]。随着技术进步，融合语义解析与结构化表征的更复杂方法逐渐兴起[7][10]–[13]，为现代基于深度学习的数学求解奠定了基础——神经网络已成为自动化复杂数学推理任务的有力工具[5][14]。

近年来，预训练语言模型（PLMs）与大语言模型（LLMs）的崛起推动了该领域的突破性进展[15][16]。诸如BERT[17]、RoBERTa[18]、BART[19]、GPT-1[20]和GPT-2[21]等模型，通过从大规模文本语料中学习，展现出卓越的语言与数值推理能力。为增强PLMs的数学推理性能，研究者探索了多种技术，包括针对数学数据集的预训练与微调[22]–[24]。GenBERT[23]、NF-NSM[24]、MathBERT[25]和LISA[26]等模型将数值数据与数学表达式融入训练目标，提升了符号与数值推理能力。此外，专用损失函数和任务模块等架构创新进一步优化了PLMs的数学理解[27]–[30]。

以GPT-4[31]为代表的大规模LLMs彻底改变了数学问题求解范式。这些模型凭借上下文学习[32]–[34]和指令学习[35][36]等技术，在各类NLP任务中表现出强大泛化能力。Wang等[37]的研究表明，参数量超千亿的LLMs（如GPT-3[33]和PaLM[38]）通过思维链（CoT）推理与结构化示例，可有效解决复杂数学问题。CoT方法的进步催生了结构化推理、程序化推理框架和动态CoT模型[39]–[42]，而结合外部符号系统的工具增强模型则进一步提升了数学求解性能[43]–[45]，彰显了神经与符号推理融合的潜力。 现有综述从不同角度探讨了LLMs的数学推理： * [46]系统回顾深度学习数学推理方法（DL4Math）； * [47]研究语言模型的通用推理机制（LM4Reasoning）； * [48]分析思维链（CoT）推理方法论； * [49][50]分别综述PLMs与LLMs； * [51]探讨多模态LLMs的数学推理（MMLM4Math）。

深度学习、结构化推理与工具增强模型的融合，正推动AI数学求解快速发展。然而，形式化证明生成、定理证明及实际应用仍存在挑战。未来研究需提升可解释性、鲁棒性及神经-符号范式的无缝融合。

**A. LLMs架起数学推理与优化的桥梁

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**数学推理是AI中逻辑推断、问题求解与数值计算的基础[52]。LLMs在定理证明、代数运算和结构化数值求解等任务中表现卓越。通过CoT提示、程序化推理和工具增强推断等技术，LLMs在复杂数学问题求解中取得显著进展[53]。然而，从理论推理到优化控制等实际应用，还需模型具备迭代生成与优化解的能力。

优化控制问题需在严格数学约束下达成目标。混合整数规划（MIP）和线性规划（LP）等场景中，传统求解器依赖分支定界法和梯度优化等算法。虽然LLMs无法完全替代这些求解器，但可通过问题表述、约束生成和启发式改进来优化建模流程[54]。凭借符号数学与结构化求解的预训练优势，LLMs能辅助专家构建适定优化问题并验证解的正确性。 LLMs的核心价值在于将自然语言描述的复杂优化场景转化为结构化数学表述[55]。例如在电池储能系统（BESS）优化中，LLMs可将"成本最小化"或"能量套利"等策略约束转换为可求解模型；在线性二次调节（LQR）控制中，则能协助构建状态空间表征并迭代计算反馈增益。 通过融合数学推理与优化控制策略，LLMs有望弥合理论模型与工程应用的鸿沟[56]。其在模型构建、约束生成和启发式搜索中的自动化能力，使其成为复杂系统决策的利器。未来研究需提升数值精度、强化符号计算能力，并优化与传统求解器的交互。这种协同作用将推动工程与科学领域更智能、可解释、高效的决策支持系统发展。

**本文结构

第二节阐述语言模型适用的数学任务类型；第三节介绍基于PLMs的数学推理方法（非自回归模型见III-B节）；第四节探讨LLMs的数学推理方法；第五节对比各类数学LLMs；第六节分析性能表现；第八节研究LLMs在时间序列分析中的应用与挑战；第九节提供主流LLMs的技术对比；第十节讨论LLMs在优化控制中的作用；第十一节提出开放挑战与未来方向；第十二节总结全文。