Let PG$(r, q)$ be the $r$-dimensional projective space over the finite field ${\rm GF}(q)$. A set $\cal X$ of points of PG$(r, q)$ is a cutting blocking set if for each hyperplane $\Pi$ of PG$(r, q)$ the set $\Pi \cap \cal X$ spans $\Pi$. Cutting blocking sets give rise to saturating sets and minimal linear codes and those having size as small as possible are of particular interest. We observe that from a cutting blocking set obtained by Fancsali and Sziklai, by using a set of pairwise disjoint lines, there arises a minimal linear code whose length grows linearly with respect to its dimension. We also provide two distinct constructions: a cutting blocking set of PG$(3, q^3)$ of size $3(q+1)(q^2+1)$ as a union of three pairwise disjoint $q$-order subgeometries and a cutting blocking set of PG$(5, q)$ of size $7(q+1)$ from seven lines of a Desarguesian line spread of PG$(5, q)$. In both cases the cutting blocking sets obtained are smaller than the known ones. As a byproduct we further improve on the upper bound of the smallest size of certain saturating sets and on the minimum length of a minimal $q$-ary linear code having dimension $4$ and $6$.
翻译:让PG$(r, q美元) 成为有限域的美元( rm GF) (q) 的维度投影空间。 设定的美元X美元( r, q) 美元( q) 是一个切开屏蔽装置, 如果每架超高机$( pi) 美元( r, q) 美元( q), 设定的美元/ pG$( r, q) 上限X 美元( 美元) 美元。 切开屏蔽装置会产生最小饱和最小线代码, 且规模尽可能小的代码特别感兴趣。 我们观察到, Fancsali 和 Sziklai( 美元) 获得的直径屏蔽屏蔽设置的美元( r, q q q) 。 我们提供两种不同的构造: 3 美元( q+1) 美元( q) 3美元( q% (q) + 1美元 ), 3对美元( 美元) 美元( eq) 亚 5 美元( 美元) 美元) 和 7 G 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元) 美元( ) 美元( ) 美元) 美元) 美元) 的平价( ) 的直径( ) 美元) ) 的平方块( ) ) ) 的平方块( ) 的直径( ) ) 和 的平方块( 的底( ) ) 的底 ( 美元) ) ) 等的平方 的平方 ) 的底 ( ) ) 的底( ) ) ) ) ) 方 的 的平 平 的 的 的 的 的 的 等的根 ( 平 平 平方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方 方