A continuous-time multi-state history is semi-Markovian, if an intensity to migrate from one state into another, depends on the duration in the first state. Such duration can be formalised as covariate, entering the intensity process of the transition counts. We derive the integrated intensity process, prove its predictability and the martingale property of the residual. In particular, we verify the usual conditions for the respective filtration. As a consequence, according to Nielsen and Linton (1995), a kernel estimator of the transition intensity, including the duration dependence, converges point-wise at a slow rate, compared to the Markovian kernel estimator, i.e when ignoring dependence. By using the rate discrepancy, we follow Gozalo (1993) and show that the (properly scaled) maximal difference of the two kernel estimators on a random grid of points is asymptotically chi-square-1-distributed. As a data example, for a sample of 130,000 German women observed over a period of nine years, we model the mortality after dementia onset, potentially dependent on the disease duration. As usual, the models under both hypotheses need to be enlarged to allow for independent right-censoring. We find a significant effect of dementia duration, nearly independent of the bandwidth.
翻译:连续的多州历史是半马尔科维亚,如果从一个州迁移到另一个州的强度取决于第一个州的持续时间。 这种持续时间可以作为共变形式形式,进入过渡期的强度计数过程。 我们得出集成的强度过程,证明它的可预测性和剩余部分的马丁格尔属性。 特别是, 我们核查各自过滤的通常条件。 根据Nielsen和Linton(1995年), 过渡强度(包括持续时间依赖性)的内核估测器, 与马可维亚内核估测器相比, 速度缓慢, 也就是在忽略依赖性时。 我们遵循Gozalo(1993年), 并表明随机点格上两个内核估计器的最大差异( 适度) 。 因此, 根据Nielsen和Linton(1995年), 包括持续时间依赖性在内的过渡强度的内核估测点测量器, 与在九年期间观察到的130, 130, 与马尔科尼内内内核估测器的估测针相比, 缓慢, 也就是在忽略依赖依赖依赖依赖依赖依赖依赖依赖依赖依赖依赖性依赖性 度的周期内测测测, 。 我们根据常态测测测测测测测测测测, 期后, 我们测测测测测测测测测的死亡率到后,, 需要到显著到 直为独立的测测测测到 度, 视到 度 度 直为 度 度 度 度 度 度 度 度 度 直度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 的 的 的 度 度 度 度 度 度 的 的 度 度 度 度 度 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 以 以 独立的 独立的 独立的 以 独立的 独立的 独立的 独立的 独立的 独立的