A 3-SAT problem is called positive and planar if all the literals are positive and the clause-variable incidence graph (i.e., SAT graph) is planar. The NAE 3-SAT and 1-in-3-SAT are two variants of 3-SAT that remain NP-complete even when they are positive. The positive 1-in-3-SAT problem remains NP-complete under planarity constraint, but planar NAE 3-SAT is solvable in $O(n^{1.5}\log n)$ time. In this paper we prove that a positive planar NAE 3-SAT is always satisfiable when the underlying SAT graph is 3-connected, and a satisfiable assignment can be obtained in linear time. We also show that without 3-connectivity constraint, existence of a linear-time algorithm for positive planar NAE 3-SAT problem is unlikely as it would imply a linear-time algorithm for finding a spanning 2-matching in a planar subcubic graph. We then prove that positive planar 1-in-3-SAT remains NP-complete under the 3-connectivity constraint, even when each variable appears in at most 4 clauses. However, we show that the 3-connected planar 1-in-3-SAT is always satisfiable when each variable appears in an even number of clauses.


翻译:3- SAT问题被称为正数和平面问题, 如果所有字面上都是正数, 而条款可变事件图( SAT 图) 是平面的。 NAE 3- SAT 和 1- in-3- SAT 是3- SAT 的两种变体, 即使是正数, 3- NP- 3-3- SAT 仍然完整。 正数 1- 中-3 SAT 问题仍然是 NP- 完成的计划性限制, 但是 NAE 3- SAT 在 $O( n ⁇ 1.5 ⁇ log n) 的时间里是可溶解的。 在本文中, 我们证明, 当基础的 SAT 3- 3 图形是连接的时, 正数 NAE 3 3 和 3 SAT 的正数 总是可调和的, 线性任务可以在线性时间里取得。 我们还表明, 3- 3- 平面 3 的可变数中每个变数似乎都是 3 3- 3 的变量限制 。

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