Chv\'{a}tal and Klincsek (1980) gave an $O(n^3)$-time algorithm for the problem of finding a maximum-cardinality convex subset of an arbitrary given set $P$ of $n$ points in the plane. This paper examines a generalization of the problem, the Bottleneck Convex Subsets problem: given a set $P$ of $n$ points in the plane and a positive integer $k$, select $k$ pairwise disjoint convex subsets of $P$ such that the cardinality of the smallest subset is maximized. Equivalently, a solution maximizes the cardinality of $k$ mutually disjoint convex subsets of $P$ of equal cardinality. We show the problem is NP-hard when $k$ is an arbitrary input parameter, we give an algorithm that solves the problem exactly, with running time polynomial in $n$ when $k$ is fixed, and we give a fixed-parameter tractable algorithm parameterized in terms of the number of points strictly interior to the convex hull.
翻译:Chv\ {a}tal 和 Klincsek(1980年) 给出了用于解决在飞机上找到一个任意设定为$n美元点的硬硬度最大锥体分数问题的O(n3) 3美元时间算法。 本文审视了问题的概括性, 即Bottleneck Convex子集问题: 鉴于飞机上设定的美元点和正整数美元, 我们给出了一个精确解决问题的算法, 在固定美元时以美元运行时以美元计时, 我们给出一个固定的参数, 将最小子集的基数最大化。 等量地, 解决方案将相同的基数的美元分数最大化为 $k$ 。 当美元是任意输入参数时, 我们显示问题为 NP- 硬性, 我们给出一个精确解决问题的算法, 在固定美元时以美元运行时以美元计数, 我们给出一个固定的参数参数, 以等离子体内点数表示固定的可测量的固定参数 。