We introduce partitioned matching games as a suitable model for international kidney exchange programmes, where in each round the total number of available kidney transplants needs to be distributed amongst the participating countries in a "fair" way. A partitioned matching game $(N,v)$ is defined on a graph $G=(V,E)$ with an edge weighting $w$ and a partition $V=V_1 \cup \dots \cup V_n$. The player set is $N = \{1, \dots, n\}$, and player $p \in N$ owns the vertices in $V_p$. The value $v(S)$ of a coalition $S \subseteq N$ is the maximum weight of a matching in the subgraph of $G$ induced by the vertices owned by the players in $S$. If $|V_p|=1$ for all $p\in N$, then we obtain the classical matching game. Let $c=\max\{|V_p| \; |\; 1\leq p\leq n\}$ be the width of $(N,v)$. We prove that checking core non-emptiness is polynomial-time solvable if $c\leq 2$ but co-NP-hard if $c\leq 3$. We do this via pinpointing a relationship with the known class of $b$-matching games and completing the complexity classification on testing core non-emptiness for $b$-matching games. With respect to our application, we prove a number of complexity results on choosing, out of possibly many optimal solutions, one that leads to a kidney transplant distribution that is as close as possible to some prescribed fair distribution.


翻译:我们引入了配对游戏作为国际肾脏交换方案的合适模式, 每回合都需要以“ 公平” 方式在参加国中分配可用的肾移植总数。 配对游戏$( N, v) 在一个G$G=( V, E) 的图形中定义, 边重为 美元, 边重为 V_ 1\ cup\ dots\ cup V_ n美元。 玩家的设置是$N= =% 1,\ dotts, n$p = N$, 玩家 $p = N$ 的总数需要以“ 公平” 方式在参加国中分配。 配对的匹配值是$G$( V, V=1\\\ cup\\ dodots) 。 如果所有 $p\ p p\ 1\ p_ p_ p_ laxxal lax lax legyal lax a climate a lex- climate a ral ral $ral ral deal. lax a pral a plexnal_ pr_ prxxnal a ral a rmal_ prx prx pral a ral a lexnal a lex prxxxxxxxxxxn) rmalst ral a rental a rxxxxxxxxx, ral a ral a ral a fral a fral a pral_ pral a pr) laxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx, 。 。 。 laxxxxxxxxx s p p p p p p p p p p p p p pral a pral a f pral_ pral_ pral a f pral_ pral a pral leal a pral_ pral a f pral lemal_ lemal_ pral_ pr) laxxl leal ex ex ex lemal la

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