In this paper, we introduce two new families of generalised Hermite polynomials/functions (GHPs/GHFs) in arbitrary dimensions, and develop efficient and accurate generalised Hermite spectral algorithms for PDEs with integral fractional Laplacian (IFL) and/or Schr\"{o}dinger operators in $\mathbb R^d.$ As a generalisation of the G. Szeg\"{o}'s family in 1D (1939), the first family of GHPs (resp. GHFs) are orthogonal with respect to $|\bx|^{2\mu} \e^{-|\bx|^2}$ (resp. $|\bx |^{2\mu}$) in $\mathbb R^d$. We further define adjoint generalised Hermite functions (A-GHFs) which have an interwoven connection with the corresponding GHFs through the Fourier transform, and which are orthogonal with respect to the inner product $[u,v]_{H^s(\mathbb R^d)}=((-\Delta)^{s/ 2}u, (-\Delta)^{s/2} v )_{\mathbb R^d}$ associated with the IFL of order $s>0$. Thus, the spectral-Galerkin method using A-GHFs as basis functions leads to a diagonal stiffness matrix for the IFL (which is known to be notoriously difficult and expensive to discretise). The new basis also finds efficient and accurate in solving PDEs with the fractional Schr\"{o}dinger operator: $(-\Delta)^s +|\bs x|^{2\mu}$ with $s\in (0,1]$ and $\mu>-1/2.$ Following the same spirit, we construct the second family of GHFs, dubbed as M\"untz-type generalised Hermite functions (M-GHFs), which are orthogonal with respect to an inner product associated with the underlying Schr\"{o}dinger operator, and are tailored to the singularity of the solution at the origin. We demonstrate that the M\"untz-type GHF spectral method leads to sparse matrices and spectrally accurate to some Schr\"{o}dinger eigenvalue problems.


翻译:在本文中, 我们引入两个任意层面的通用赫米特多边协议/ 功能( GHP/ GHF) 的新家族, 并且以 $\mathbbb R'd. 和/或 Schr\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\在 1D\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

0
下载
关闭预览

相关内容

Integration:Integration, the VLSI Journal。 Explanation:集成,VLSI杂志。 Publisher:Elsevier。 SIT:http://dblp.uni-trier.de/db/journals/integration/
专知会员服务
161+阅读 · 2020年1月16日
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
【新书】Python编程基础,669页pdf
专知会员服务
194+阅读 · 2019年10月10日
【SIGGRAPH2019】TensorFlow 2.0深度学习计算机图形学应用
专知会员服务
39+阅读 · 2019年10月9日
ICML2019机器学习顶会接受论文列表!
专知
10+阅读 · 2019年5月12日
RL 真经
CreateAMind
5+阅读 · 2018年12月28日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
17+阅读 · 2018年12月24日
disentangled-representation-papers
CreateAMind
26+阅读 · 2018年9月12日
Hierarchical Disentangled Representations
CreateAMind
4+阅读 · 2018年4月15日
carla 学习笔记
CreateAMind
9+阅读 · 2018年2月7日
【推荐】自然语言处理(NLP)指南
机器学习研究会
35+阅读 · 2017年11月17日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
【推荐】SVM实例教程
机器学习研究会
17+阅读 · 2017年8月26日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
VIP会员
相关VIP内容
专知会员服务
161+阅读 · 2020年1月16日
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
【新书】Python编程基础,669页pdf
专知会员服务
194+阅读 · 2019年10月10日
【SIGGRAPH2019】TensorFlow 2.0深度学习计算机图形学应用
专知会员服务
39+阅读 · 2019年10月9日
相关资讯
ICML2019机器学习顶会接受论文列表!
专知
10+阅读 · 2019年5月12日
RL 真经
CreateAMind
5+阅读 · 2018年12月28日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
17+阅读 · 2018年12月24日
disentangled-representation-papers
CreateAMind
26+阅读 · 2018年9月12日
Hierarchical Disentangled Representations
CreateAMind
4+阅读 · 2018年4月15日
carla 学习笔记
CreateAMind
9+阅读 · 2018年2月7日
【推荐】自然语言处理(NLP)指南
机器学习研究会
35+阅读 · 2017年11月17日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
【推荐】SVM实例教程
机器学习研究会
17+阅读 · 2017年8月26日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员