物理学中的这个“魔数”，可以被推导出来吗？

2018 年 9 月 29 日 中科院物理所

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24日，所有的媒体都在关注迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）是否证明了黎曼猜想。然而，大多数数学家对此都持怀疑态度。他们的理由很简单，因为证明黎曼猜想实在是太难了，过去有很多的尝试都失败了。这里我们将不去探讨阿蒂亚的证明是否正确，而是关注另一个问题：精细结构常数。事实上，阿蒂亚一开始并没有打算去证明黎曼猜想，而是试图推导精细结构常数。

○ 阿蒂亚在演讲时的一页ppt。

在物理学中，我们经常能看到精细结构常数（α），它是一个无量纲常数。在量子电动力学（QED）中，精细结构常数表征了电磁相互作用的强度。它的数值大约等于1/137。假如这个值再大一点，那么电磁力就会更强，原子也会更小等等；但反过来假如这个值再小一点，原子就会变得更大。这个数字可以告诉我们电子和光子之间QED相互作用的总强度，我们可以通过费曼图来计算：

○ 简单的费曼图。

阿蒂亚认为，在某种意义上，α是一项基本无量纲数值，就跟e或π一样。因此，人们总是试图从一些更深层的原理去“推导”它的值。上个世纪，有许多物理学家都尝试去解释精细结构常数，但并没有人成功。爱丁顿（就是验证了广义相对论的那位英国天文物理学家）是最早尝试运用纯理论方法来计算精细结构常数的科学家。显然，他失败了。

约翰·惠勒曾写道：“物理学家喜欢这个数字不仅仅是因为它是无量纲的，还因为它是自然界中三个基本常数的组合。为什么这几个常数结合在一起的时候会得出一个特别的数字：1/137.036，而不是其它的数字？”

费曼也在书中写道：“这个数字自五十年前发现以来便一直是个迷。所有优秀的物理学家都将这个数贴在墙上，为它大伤脑筋……它是物理学中最大的谜题之一，一个该死的迷：一个魔数来到我们身边，可是没人能理解它。你也许会说是‘上帝之手’写下了这个数字，而我们不知道他是怎样下的笔。”

那么，试图推导精细结构常数是否是一个正确的尝试？物理学家Sean Carroll在自己的博客中这样写道：”对于现代物理学家来说，这似乎是一个错误的探索。“

首先，根据重整化理论（在量子场论中，解决计算过程中出现无穷大的一系列方法），α并不是一个真正的数字，而是一个函数。特别是，它是关于所考虑的相互作用中的动量总量的函数。从本质上说，对于在不同能量下发生的过程，电磁强度略有不同。这基本上就是Sabine Hossenfelder提出的反对意见。她在Twitter中表示，精细结构常数只有在低能时才近似于1/137。它的值会根据能量而变化，并一直增加，直到达到大统一。

更重要的是，α并不是基本的。在上面所展示费曼图是两个简单的例子，但是对于任何给定的过程而言，还有复杂得多的费曼图，例如：

○ 复杂的费曼图。

事实上，我们得到的总答案不仅取决于电子和光子的性质，还取决于在这些复杂的图中以虚粒子的形式出现的所有其他粒子。所以，我们所测量到的精细结构常数实际上取决于顶夸克的质量和希格斯玻色子的耦合等。

最重要的是，不仅α不是基本的，QED本身也不基本。自然界中的三种基本力——强核力、弱核力和电磁力——很有可能会结合成某种大统一理论，即使目前我们还无法确定。但我们知道，弱核力和电磁力能统一成电弱理论。在QED中，从公式α=e²/4π（这里，我们把其他常数设置为1）中可以看出，α和“基本电荷（e）”有关。所以，如果你尝试“推导”α，实际上是在推导e。

但是e绝对不是基本的。在电弱理论中，我们有两个耦合常数：g进而g'，分别表示“弱同位旋”和“弱超电荷”。除此之外还有“弱混合角”（或“温伯格角”）θ𝗐，它与初始规范玻色子如何在自发对称性破缺后被投射到光子和W/Z玻色子上有关。在这些问题上，我们有一个关于基本电荷的公式：e = g sinθ𝗐。基本电荷不是自然界中的一个基本成分；它只是在高能情况下发生了一系列复杂的事物之后，我们在低能时直接观测到的东西。