abc 猜想证明是否有效？三位数学界大牛激辩

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9 月 20 日，波恩大学的彼得·舒尔茨（Peter Scholze）和歌德大学的雅克比·斯提克斯（Jakob Stix）发文称，京都大学天才数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）从 2012 年发表的一系列证明 abc 猜想的长篇论文中存在“严重的，不可修复的漏洞”，而 abc 猜想是数论中影响最为深远的问题之一。

图 | Peter Scholze 和 Jakob Stix 认为 abc 猜想仍未被证明（来源：京都大学）

图 | 望月新一（来源：京都大学）

尽管数学家们已经在检验望月新一的证明上花了大量功夫，但是很多数学家仍然在检验论文中的潜在假定。望月新一的论文加起来超过了 500 页，晦涩难懂，还引用了超过 500 页的自己的其他论文。以至于斯坦福大学数学家布莱恩·科纳德（Brian Conrad）觉得“这简直是个无穷无尽的递归表达式”。

根据诺丁汉大学伊万·菲森科（Ivan Fesenko）的邮件，12-18 名数学家研究过证明之后，认为证明是成立的。但是科纳德在去年 12 月的博客中表示，认可该证明的大多数是望月新一圈子内的人，而这个小圈子之外的人，即使是在私下里，也没有一个敢说这个证明站得住脚。

不过，弗兰克·卡莱加里（Frank Calegari）去年 12 月发表的博文称，“数学家也不愿意判定这个证明不成立，因为他们确实没有找出致命错误到底在哪里。”

然而，近日有 2 名数学家出来踢馆。在文章中，舒尔茨和斯提克斯宣称，望月新一 4 篇论文中的第 3 篇论文，其接近结尾处对“推论 3.12”的证明，存在根本性缺陷，而该推论是望月新一对 abc 猜想的证明的核心。

舒尔茨表示，他认为 abc 猜想仍然没有获得证明，任何人都还有机会摘取桂冠。

图 | Peter Scholze。本月早些时候获得菲尔兹奖（来源：维基百科）

舒尔茨和斯提克斯的结论并不仅仅基于他们自己的论文。他们在 3 月花了 1 周时间去京都大学拜访望月新一和他的同事保志雄一郎（Yuichiro Hoshi），与他们讨论证明过程。这次对他们得出最终结论帮助很大，他们最终认定“证明不成立”。

不过显然，望月新一和踢馆二人组谁也没有说服谁。望月新一把踢馆二人组的文章挂在自己的网页上，并附加了自己的反驳意见。不过，望月新一和合作伙伴拒绝对第三方采访发表评论。

在反驳意见中，望月新一认为踢馆二人组的批评“完全没有理解自己的工作”，“自己的工作没有任何漏洞”。

望月新一和踢馆二人组都是数学界享有盛名的专家，因此这次争斗在数学界引起广泛关注。年仅 30 岁的舒尔茨以火箭速度成为顶级数学家，今年 8 月刚刚获得数学界最高奖项菲尔兹奖。斯提克斯对于望月新一的领域——阿贝尔几何——非常熟悉

科纳德表示，踢馆二人组都是非常谨慎和思虑周密的数学家，他们的任何意见都值得认真考虑。

望月新一证明过程中的阿基里斯之踵

科纳德将 abc 猜想称为“数论中最突出的猜想之一”。该猜想的起点是一个最简单的等式：a + b = c。a，b 和 c 是正整数，且不能有任何公共的素因子。8 + 9 = 17 和 5 + 16 = 21 满足这个等式，而 6 + 9 = 15 不满足，因为 6,9 和 15 有共同的素因子 3。

这个等式有 2 种情况：5 + 16 = 21 中，有素因子 5，2，3，7，这 4 个数字的乘积等于 210，远远大于等式中的任何一个数字。而对于 5 + 27 = 32，素因子是 5,3,2，乘积只有 30，小于 32。这是因为 27 和 32 都只有很小的素因子 3 和 2，只不过这些素因子的高次方组成了等式中的数字。

然而，5 + 27 = 32 这样的情况极其罕见。比如，a 和 b 介于 1 和 100 之间时，可以构建 3044 个等式，只有 7 个等式的素因子乘积小于 c。abc 猜想于 1980 年提出，认为类似于“5 + 27 = 32”的特例确实极其罕见。

更进一步地，5 + 27 = 32 中，32 大于 30，但是只大一点点。32 小于 302，301.5，甚至 301.02——其值为 32.11。abc 猜想认为，只有有限数量的 abc 数字，能在选择任何大于 1 的指数 x 时，令 cx 大于素因子乘积。

牛津大学的 Minhyong Kim 表示，abc 猜想是关于乘法和加法的基本猜想，该猜想有望揭露数字系统的一些基本的，前所未见的特征。

由于 a + b = c 这个等式非常简单，因此有很大一部分问题都属于 abc 猜想。例如，费马大定理可以表示为 xn + yn = zn。再比如，卡塔兰猜想认为，8 和 9 是仅有的 2 个相邻的次方数（8 = 23，9 = 32），这相当于等式 xm + 1 = yn。abc 猜想能对这 2 个理论提供新的证明，并解决一系列相关问题。

图 | 雅克比·斯提克斯是阿贝尔几何的专家，望月新一的工作属于此领域（来源：歌德大学）

哥伦比亚大学的多瑞安·古德费德（Dorian Goldfeld）表示，abc 猜想看上去处于已知和未知的边界上。

由于证明 abc 猜想的巨大潜在回报，数论专家认为该猜想非常难以证明。因此，2012 年望月新一证明 abc 猜想的消息传出后，大量数论专家积极跟踪该工作，能妨碍他们的只有晦涩的表达方式。论文中仅仅定义就用了很多页，而后面的定理描述更是长的了得，但是证明过程却只有一句话：“从定义可以直接得出结论。”

卡莱加里在去年 12 月的博文中写到：据我所知，任何一个专家分析望月新一论文的结果都是：大量结论缺乏详细证明。

舒尔茨是望月新一证明论文的早期读者。凭借他超凡的数学领悟能力，他在理解证明上比大多数数论专家做的更快更好，迅速完成了 4 篇证明论文的粗读。舒尔茨同样被“超长定理的超短证明”搞迷糊了。对前 2 篇相关论文研读后，他表示，尽管他直觉上认为证明成立，但是他没什么能肯定的。

接着，舒尔茨到达了第 3 篇论文的“推论 3.12”。数学家通常用“推论”来指代那些主要理论的次级衍生理论。然而，推论 3.12 是整个 abc 证明的核心，如果其不成立，整个证明就绝对无法成立。

图 | 望月新一论文中被怀疑的图 3.8（来源：京都大学）

这个推论是几篇证明论文中仅有的一个证明长度稍微超过几行的推论——用了 9 页。舒尔茨阅读证明之后，他发现了一个他认为说不通的点。

舒尔茨当时只有 24 岁，判定该证明存在漏洞。但是他没有怎么参与对该论文的讨论，而是在一边等待。他本来认为，其他数学家能找出论文中他没有读懂的东西，或者他们能得出跟自己一样的结论。无论如何，证明成立与否的结论不会等太长时间。

爱舍尔楼梯

同时，其他数学家也在阅读论文。很多数学家期望 2015 年下半年牛津大学举行的望月新一专题论坛能解决争议。然而，在会上，尽管望月新一的几个紧密合作者解释了证明过程，听众仍然觉得迷雾重重。科纳德发文表示，那些认为证明成立的人，实在是需要提高一下自己的沟通水平。

科纳德发文几天后，他收到了来自包括舒尔茨在内的 3 位数学家的私下来信，内容大同小异：他们能理解证明，除了 1 个共同的点——每个人都认为，推论 3.12 非常可疑。

Kim 表示，京都大学数学家越川松阪（Teruhisa Koshikawa）也表达了对推论 3.12 的质疑。斯提克斯也卡在了同一个地方。越来越多的数论专家意识到，推论 3.12 是一个疑点，但是他们还不确定，到底是证明本身有问题，还是证明本身成立但望月新一没说清楚。

2017 年下半年有传闻称，尽管很多数论专家感到惊讶，但是望月新一的论文已经被接受发表。望月新一本人是论文发表期刊 Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences（PRIMS）的总编辑，卡莱加里认为，编辑在遇到自己的论文时应该回避，望月新一也不应该例外。更令人不安的是，大多数数学家仍然觉得论文难以理解。

图 | 望月新一在 2015 年会议上以视频方式露面。（来源：Quanta Magazine）

芝加哥大学的马修·埃莫顿（Matthew Emerton）表示，没有一个自称理解了整个证明的人能让那些仍然迷惑不解的大批专家理解这个证明到底是怎么回事。

卡莱加里在博文中表示，这个情况不仅对数学爱好圈还是专业数论研究者圈来说都是个“灾难”——对于来自京都大学的 abc 猜想证明，一千个读者有一千个理解。对于重要问题迟迟达不成共识是数学研究的重大阻碍。

PRIMS 杂志最终表示，望月新一的论文尚未被接受。但是就在这一声明发表前，舒尔茨已经决心向大众媒体公开发表意见——这一意见他在私下已经跟很多数论专家表达过：关于证明的所有讨论都严重缺乏学术基础。所有人都在谈论自己看到论文之后的“看法”，但是没有一个人肯定地说，“没人理解这个推论，因此没人理解整个证明。”

因此在卡莱加里博文的评论栏中，舒尔茨留言公开表示，他无法理解推论 3.12 中图 3.8 的逻辑。此外，他向大众公开表示，“所有声称理解了证明过程的人都不愿意承认，他们必须做更多的沟通工作以让其他人理解证明到底在说什么。”

森重文（Shigefumi Mori）是望月新一在京都大学的同事，也是菲尔兹奖获得者。他邀请舒尔茨来京都，与自己和望月新一一起开一个讨论会。舒尔茨邀请了斯提克斯，二人于 3 月前往京都，与望月新一和保志雄一郎举行会谈。

望月新一对 abc 猜想的证明方法是将这个问题转化为一个椭圆曲线问题，这个变换很早之前就存在了，而且很简单。变换后，每个 abc 等式都对应于一条椭圆曲线，在 a 和 b 这 2 个位置和坐标原点处穿过 x 轴，将数论和几何、微积分和其他领域联系起来。该变换是 1994 年安德鲁·怀尔斯证明费马大定理的核心工具。

abc 猜想至此变成证明 1 个与该椭圆曲线有关的特定不等式。望月新一的工作将这个不等式转换成另外的形式。根据斯提克斯的说法，这种变换相当于比较 2 个集合中的元素个数。望月新一在推论 3.12 中对这个新的不等式进行了证明。如果这个证明成立，则 abc 猜想就得以证明。

舒尔茨和斯提克斯表示，该证明需要比较 2 个实数集合，这 2 个集合被变换为 6 个不同的实数集合中的部分元素组成的环的一部分。此外，还需要证明每个在环上的集合与自己的相邻集合是什么关系，为了做到这一点，就必须理解不同集合的测度之间的关系。

舒尔茨和斯提克斯相信，证明就是在这里出了问题。在望月新一的工作中，各种测度标准彼此相容。但是当沿着环进行遍历时，斯提克斯表示，你最终会遇到一个测度标准，这个标准看上去跟其他的测度标准都不同。这种情况类似于著名的爱舍尔楼梯——你不停地向上爬，到了最后你发现你回到了原点。

图 | 爱舍尔楼梯（来源：维基百科）

踢馆二人组声称，这种空间测度的不相容性意味着最终的不等式并没有比较 2 个真正该比较的量。但是如果调整证明，使得空间测度彼此相容，那么这个不等式又将失去意义。

研究望月新一论文的加州大学圣迭戈分校数学家基安·凯德拉（Kiran Kedlaya）表示，他认为踢馆二人组已经令人信服地证明，望月新一的论证站不住脚。此外，踢馆二人组的发现所隐含的意义远远超过二人目前所表达出来的东西。

当然，望月新一认为，这个“隐含的意义”就是证明本身。他表示，踢馆二人组在数学元素之间建立了武断的联系，而这些元素之间本来没有联系。他进一步表示，在他跟同事讨论的时候，他的同事都一致认为，踢馆二人组居然会堂而皇之地公开发表这种误解，“难以置信”，“非常可笑”。

数学家现在必须研判踢馆二人组和望月新一到底谁说得对。但是舒尔茨希望他们的工作能加速对原始论文的可靠性判定，因为踢馆二人组的工作并不复杂，其他数论专家完全可以读懂这篇在踢馆二人组和望月新一会面之后发表的反驳论文。

望月新一有不同的看法。他认为，踢馆二人组根本没有理解讨论中的数学内容就发表批评，可能是出于对“用新方法处理传统数学问题”的不熟悉甚至不舒服。

Kim 在邮件中表示，对望月新一证明持怀疑态度的人，可能会认真阅读踢馆二人组的文章，他本人就在这么做。当然，他认为自己必须在下结论之前更加小心。

在过去的几年中，很多数论专家最终放弃了理解望月新一论文的尝试。但是如果望月新一能就他认为踢馆二人组“不理解”的部分提供一份详细且合乎逻辑的解释，那么数学家们可能会愿意重新审读原始证明。

舒尔茨表示，他认为望月新一目前的工作不足以构成证明，除非他能修改论文，对关键步骤进行更好的解释。此外，他个人并不认为仅仅一个关键点子就足以证明 abc 猜想。

Kim 认为，踢馆二人组的论文有望使得对 abc 猜想的理解更进一步，因此不管争论的最终结果是什么，反驳论文都是对数学的重要贡献。

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编辑：离子心 责编：戴青

参考：

https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/