黎曼猜想被证明了？“他的证明甚至不能算是个错误”！阿蒂亚爵士的证明受到同行质疑

作者：许琦敏 金婉霞

编辑：金婉霞

责任编辑：李雪林

来源：解剖者

摘要：德国柏林时间9月24日上午9点45分，菲尔兹奖与阿贝尔奖双料得主、英国皇家学会院士迈克尔·阿蒂亚爵士在德国海德堡举行的海德堡奖诺贝尔奖获得者论坛上，讲述了他对黎曼猜想的证明。

黎曼猜想要被证明了？只怕这次离真正的证明还有一段距离。

德国柏林时间9月24日上午9点45分，菲尔兹奖与阿贝尔奖双料得主、英国皇家学会院士迈克尔·阿蒂亚爵士在德国海德堡举行的海德堡奖诺贝尔奖获得者论坛上，讲述了他对黎曼猜想的证明。

▲迈克尔·阿蒂亚爵士在论坛现场讲述证明过程时的直播截图

他声称，自己用了一个非常简单的反证法，就解开了天才数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，至今159年无人能证明的黎曼猜想。

▲迈克尔·阿蒂亚爵士在论坛现场讲述证明过程时的直播截图

就在论坛开始前不久，他还将论文的预印本发布在了网上。这表明他不是仅仅以一个报告来博得眼球，而是已经有了实实在在的论文。

然而，令人意外的是，当大众欢呼雀跃于这数学王国中最难攻克的猜想得到证明时，真正的数学家们却非常淡然。而在预印本出来之后，来自同行的负面评论越来越多，有人说他的所谓证明“甚至不能算是个错误”。

究竟阿蒂亚爵士能否证明黎曼猜想？可能人们将再次接受失望。

一个摘要掀起热潮

就在几天前，阿蒂亚爵士声明自己证明了久负盛名的黎曼猜想，并将在海德堡获奖者论坛上简单讲述证明过程。

于是，这个消息立刻在大众中掀起了一股热潮：如果说，数学是人类智慧的皇冠，那么数论就是皇冠上的明珠，而黎曼猜想则是明珠上最难擦拭掉的那个斑点。

“如果数学世界只剩下一个难题，那么一定是黎曼猜想。”中国科学技术大学数学系教授欧阳毅说，其实每隔几年，就会有人宣称证明了黎曼猜想，但结果都失败了。

他说，对于数学家而言，只看逻辑和推导，不看谁先声称证明了什么。所以，对于阿蒂亚的声明，同行几乎都持淡然的态度，“我们要看到论文，然后验证里面的每一个步骤和细节。如果完全正确，那就向他致以最崇高的敬意，他将是本世纪最伟大的数学家，没有之一！”

数学，就是这样一个只以成败论英雄的领域，不看权威，不论资历。以菲尔兹奖为例，其获奖者都是年轻人。比如今年的菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨就是1987年出生的，但他将代数与几何结合的工作，已被很多人跟进，有深远的理论意义。

预印本发布引来更多吐槽

就在89岁高龄的阿蒂亚爵士走上讲坛前不久，他关于黎曼猜想的预印本已在网上公布。这说明，他是真的认为自己证明了黎曼猜想——根据数学学科发表论文的惯例，数学家在正式出版前都会提前公布预印本，先接受同行的检查，一旦放出预印本，就等于宣告这个成果的归属。

▲迈克尔·阿蒂亚爵士在论坛现场展示的PPT

只有短短的五页纸！其中证明只有15行！

的确，黎曼留给后人的也只有短短的八页纸。可真的有那么简单吗？很快，就有专业人士指出，阿蒂亚在第二节定义的TODD函数就不靠谱，而这恰恰是证明的关键所在。

简单来说，阿蒂亚是用了一个TODD函数的公式，假设有与黎曼猜想矛盾的点存在，这个公式是收缩的，那么就可以把一个个点代入这个公式，如果没有一个点成立，那么他就证明了黎曼公式。然而，这个TODD函数在他上一次在海德堡论坛上发布时，就被当场指出是错误的。

▲迈克尔·阿蒂亚爵士在论坛现场展示的PPT

所以，尽管演讲还在继续，同行就已经基本上断定，这次阿蒂亚爵士并未能带来真正的惊喜。有同行在网上表示，为了尊重这位曾经做出过非常杰出而漂亮工作的伟大数学家，就不要再讨论了，因为他的证明是“not even wrong”。

▲“not even wrong"的英文释义

在科学界，这个英语短语描述了一个声称是科学的论点或解释，但是基于无效的推理或推测前提。因此，它指的是不能严格地、科学地讨论的论述。

“这不是一次严肃的尝试，甚至连错误都算不上。在论述中没有使用到zeta函数的任何性质，而这在黎曼猜想中很关键。”欧阳毅说，很多伟大的数学家经常在晚年宣称证明了某个命题，却最终未能成功。这也是一种常态，不用对这位前辈过于苛责。

证明黎曼猜想究竟会带来改变吗？

数学证明，是个不断反复质疑、验证的过程。中国科学院院士、复旦大学数学系教授李大潜说，当年英国数学家安德鲁·怀尔斯做报告证明了费尔马大定理，也被同行指出其中的问题，他又花费了很大力气，才最终得到了结论。即使阿蒂亚这次失败，也没什么，毕竟这是数学上一个公认的难题。美国的克莱数学研究所公布的七大千禧年数学难题，每个悬赏一百万美金，黎曼猜想名列第一。

除了难度高，黎曼猜想的证明在现实世界中会改变什么吗？李大潜介绍，作为核心数学中的一个重要猜想，不少数论的研究成果都是建立在黎曼猜想成立的基础上进一步研究的，如果该猜想成立，它们就有了依据，不然就全无价值。

然而，在实际应用中，大家并不用为黎曼猜想是否被证明担心。欧阳毅说，因为数学是在理论上追求完美，但在现实应用中，很多理论极限上的情况并不会发生。

数论在密码上的应用，包括信息安全和网络空间安全，乃至量子计算，出现的情况都是有限情形（目前使用的素数不超过150位数）。黎曼猜想可能的反例出现的范围已经远远超出实际应用中数的范围。

“除非阿蒂亚证明黎曼猜想不成立，或者提出质数的新规律，否则不会对现实应用产生太大的冲击。”欧阳毅说，现在看来，我们只好等待下一位勇士，再向黎曼猜想发起挑战。

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黎曼猜想

在自然数序列中，质数（也称为素数）是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等。由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石。

1859年，德国数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）发表了一篇名为《论小于给定数值的素数个数》的论文，提出黎曼猜想。黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点的猜想。

黎曼Zeta函数在任何复数s ≠ 1上有定义，与许多其它函数一样，黎曼Zeta函数在某些点上的取值为零，那些点被称为黎曼Zeta函数的零点。比如它在所有负偶数上有零点（例如，当s = ?2, ?4, ?6, ...），这些零点被称作“平凡零点”。黎曼猜想认为这个函数的所有非平凡的零点都分布在复平面上一条平行于虚轴且实部为二分之一的直线上，但并未给出证明。

这一猜想中的非平凡零点与质数的分布密切相关，而质数在自然数中的分布问题在纯数学和应用数学上都极其重要。

一百多年，无数人曾试图证明黎曼猜想，但至今未有人能够攀顶。1900年，德国著名数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，也就是著名的“希尔伯特23问题”，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼猜想。

迈克尔·阿蒂亚（Michael Francis Atiyah）爵士

英国数学家，被誉为当代最伟大的数学家之一。他在1966年荣获菲尔兹奖，在1988年荣获科普利獎章，在2004年与辛格共同获得阿贝尔奖。他曾任英国皇家学会主席(1990-1995)，剑桥大学三一学院院长(1990-1997)，爱丁堡皇家学会主席(2005-2008)，并被选为多国科学院的外籍院士。

他早期工作主要集中在代数几何领域，与伊萨多·辛格合作证明的阿蒂亚-辛格指标定理，公认为20世纪最重要的数学成果之一。70年代后他的兴趣转向规范场论，近30年来，低维拓扑学和无穷维流形几何学的研究受到量子场论和弦理论的极大启发，他是这个新兴领域的主要倡导者之一。

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