折纸中的「降维」：这对父子解出了困扰学界十多年的几何难题

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折纸中的「降维」：这对父子解出了困扰学界十多年的几何难题

2022 年 4 月 6 日 机器之心

选自Quantamagazine

作者：Rachel Crowell

机器之心编译

机器之心编辑部

这一结果可能会帮助研究人员回答一个更重要的问题，即如何将物体从第四维展平到第三维。

计算机科学家 Erik Demaine 和他的艺术家兼计算机科学家父亲 Martin Demaine 多年来一直在挑战折纸的极限。他们复杂的折纸雕塑被纽约现代艺术博物馆永久收藏。十年前，PBS 还播出了一部以他们为主角的艺术纪录片。

这对搭档在 Erik 6 岁时开始合作，如今，Erik 已经成为了麻省理工学院的教授。他说，「我们有一家名为 Erik and Dad Puzzle Company 的公司，这家公司制作并向加拿大的玩具店销售拼图。」

Erik 从他父亲那里学到了基础数学和视觉艺术，但 Martin 也从儿子那里学到了高等数学和计算机科学。「现在我们都是艺术家和数学家 / 计算机科学家了，」 Erik 说，「我们合作了很多项目，尤其是那些跨越很多学科的项目。」

他们的最新成果是一项数学证明，去年 10 月份发表在《Computational Geometry》杂志上。

论文链接： https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0925772121000298

在这篇题为《使用可数无限折痕对所有多面体流形进行连续展平》的论文中，Erik 等人表示，他们证明了，如果扩展标准折叠模型以允许可数无限折痕出现，则可以将 3D 中的任何有限多面体流形连续平展为 2D，同时保留固有距离并避免交叉。

这一结果回答了 Demaine 父子和 Erik 博导 Anna Lubiw 2001 年提出的一个问题。他们想知道是否有可能取任何有限多面体（或 flat-sided）形状（比如立方体，而不是球体或无限大的平面)，然后用折痕将其折平。

当然，你不能将形状剪开或撕裂。此外，形状的固有距离还要保持不变，「也就是说，『你不能拉伸或收缩这个材料』，」Erik 说。而且他指出，这种类型的折叠还必须避免交叉，这意味着「我们不希望纸张穿过自己」，因为这在现实世界中不会发生。「当所有东西都在 3D 中连续移动时，满足这些限制将非常具有挑战性」。综上所述，这些约束意味着简单地挤压形状是行不通的。

Erik 父子等人的研究表明，你可以完成这种折叠，但前提是使用无限折叠策略。不过在此之前，几位作者在 2015 年发表的一篇论文中也提出了另一项实用技术。

论文链接： https://erikdemaine.org/papers/FlatteningOrthogonal_JCDCGG2015full/paper.pdf

在这篇论文中，他们研究了一类更简单的形状的折叠问题：正交多面体，其面以直角相交，并且垂直于 x、y 和 z 坐标轴中的至少一个。满足这些条件会强制形状的面为矩形，这使得折叠更简单，就像折叠冰箱盒一样。

「这种情况比较容易算出，因为每个角看起来都一样。这只不过是两个面垂直相交而已。」Erik 说到。

2015 年取得成功后，研究人员开始使用这种展平技术来处理所有有限多面体。然而，非正交多面体的面可能是三角形或梯形，适用于冰箱盒子的折痕策略不适用于棱锥体。并且对于非正交多面体来说，任何有限数量的折痕总是产生一些在同一个顶点相交的折痕。

因此 Erik 等人考虑使用其他方法来规避这个问题。经过一番探索，他们找到了一种解决非凸面物体展平问题的方法——立方体晶格（cube lattice），它是一种三维的无限网格。在立方体晶格的每个顶点处，有许多面相交并共享一条边，这使得在任何一个顶点处实现展平都是非常困难的。

但研究人员最终还是找到了解决方案。首先，他们找到一个「远离顶点」且可以展平的点，然后再找到另一个可以展平的点，不断重复这个过程，靠近有问题的顶点，并在移动时将更多的位置展平。

这个过程需要一直持续下去，一旦间断，就会有更多问题需要解决。本文作者之一、新加坡国立大学的 Jason Ku 表示：「在有问题的顶点附近，利用让切片越来越小的方法将能够展平每个切片。」

「在这种情况下，切片并不是实际的切割，而是用于想象将形状分解成更小块并将其展平的概念性切片。然后我们在概念上将这些小切片『粘合』在一起，以获得原始表面。」Erik Demaine 说道。

研究人员将同样的方法应用于所有非正交多面体。通过从有限的「概念」切片迁移到无限的「概念」切片，他们根据数学上极限的思想创建了一个程序，得到了展开的平面，解决了最初的问题。

美国史密斯学院的计算机科学家和数学家 Joseph O'Rourke 称赞道：「我从来没有想过要用无限的折痕，他们以非常聪明的方式改变了构成解决方案的标准。」

Erik Demaine 尝试将这种无限折叠的方法应用于更抽象的形状。O'Rourke 最近建议使用该方法将四维对象扁平化成三维。同时，Erik Demaine 表示他们仍然想探索是否可以用有限的折痕来展平多面体，并乐观地相信这是可能的。

在计算机上玩折纸的神童

说 Erik Demiane 是神童一点也不为过。他 12 岁到加拿大读书，14 岁拿到学士学位提前毕业。20 岁在 MIT 任教，21 岁就成为教授，23 岁在滑铁卢大学发表博士论文，并获得加拿大「总督金牌」和 NSERC 博士奖学金，同年拿到麦克阿瑟奖。

而 12 岁之前，Erik 是在家里由自己的父亲 Martin Demaine 教学文化知识。尽管 Martin 只有高中学历，但他却是知名的艺术家和数学家。

Erik 的主要研究方向就是折纸算法和计算理论，现在和他的父亲 Martin 一起在 MIT 任教。他们在计算机中进行大量的算法模拟，仿真折纸的过程，并基于此设计真实世界中的折纸艺术品。同时，通过创作折纸艺术品，Erik Demiane 能够反推改进算法，改进的算法又进一步激发折纸艺术创作，从而形成一个现实 - 虚拟，算法 - 艺术的循环。