数学家“六月”的成长之路 —— 一个令狐冲遇上风清扬的故事

2017 年 7 月 25 日 算法与数学之美

引言

今天我们要讲述一位韩国数学家的故事，他有一个很文艺的名字叫六月(英文全名：June Huh)。他的主要工作是将代数几何的相关理论和技巧引入到组合数学中，跟合作者一起解决了组合数学中的一个重要猜想---Rota猜想。因为这项工作，六月最近受到邀请，出席2018年在巴西里约举行的世界数学家大会并做45分钟特邀报告。

六月目前是美国普林斯顿高等研究院的Clay Fellow，这个Fellow由美国克莱数学研究所提供资助，奖励那些最有潜力的青年研究学者。此外，普林斯顿高等研究院也已经给六月提供了更一个长期职位，据说这个职位此前仅给予过Voevodsky和吴宝珠，而这两位后来都是Fields奖获得者。于是有人预测，六月将是2018年或者2022年的Fields 奖候选人 (六月出生于1983年，到2022年的时候还不满40岁，仍有获奖资格)。

六月并不是那种从小就是学霸，传说中的别人家的孩子。他小学时成绩平平，并且自认为数学很糟糕，十多岁的时候曾梦想做诗人，二十四岁之前都不晓得自己要干嘛，更没想过有一天会成为数学家。直到一次偶然的机会，他遇到了生命中的贵人，接触到了现代数学。这位贵人把他带进了核心的数学领域，六月沉浸其中，刻苦专研，一步一步走向了数学的顶峰。

少年时期

六月出生于1983年的美国加州，那时他的父母正在加州读研究生。六月两岁的时候，父母带他回到了韩国。六月的父亲是统计学老师，母亲是冷战之后韩国的第一位俄语教授。六月念小学的时候，由于数学考试成绩差，对数学很反感，一度认为自己不擅长数学。十几岁的时候他喜欢上诗词文学，写了很多的诗歌，还写过两篇中篇小说。2002年，六月进入国立首尔大学开始他的大学生涯，这时他开始意识到做诗人并不能让自己过上好日子，于是他又打算成为一名科学新闻工作者。在国立首尔大学，他主修天文和物理。

偶遇高人

大学生活在不知不觉中如流水般过去，转眼到了毕业之年。这一年，六月24岁。也在这一年，日本最出名的数学家之一，广中平佑（Heisuke Hironaka）访问国立首尔大学。这位老广可不得了，在70年代的日本和韩国，可是家喻户晓的人物。老广是1970年的Fields奖获得者，他写过一本非常有名的自传书——《创造之门》，据说那一代的日本和韩国父母，都会把这本书送给孩子作礼物，希望可以把自己孩子培养成伟大的数学家。老广的专业是代数几何，他创造性的发展了另一位著名代数几何学家扎里斯基（Zariski）在低维代数簇情形的工作，证明了特征为0的域上代数簇的奇点消解定理。法国高等研究院的戈洛莫夫（Gromov）曾评价，老广的奇点消解定理是数学史上的独特存在，是数学上那些最难超越或简化的证明之一。

（日本数学界到目前为止共有三位Fields奖得主，除了老广，还有之前的小平邦彦（Kodaira），以及之后的森重文(Mori)。这些日本数学家的共同特点是，都在数学中最深刻的代数几何领域做出了最重要的结果，展现了日本人踏实，苦干的精神。）

2006年，老广在国立首尔大学访问期间，开设了一年的代数几何课程，六月急着毕业，心想正好可以把老广作为他准备新闻报道的素材，于是就去参加了这个课程。一开始的时候，来听课的有100多位学生，这其中包括了很多数学专业的学生。但几个礼拜下来，所剩的学生就聊聊无几了。六月想其他学生放弃的原因是老广的课晦涩难懂，而他之所以能坚持听课是因为他怀抱着不同的目的。不过，他确实也听懂了一些简单的例子，只要懂这些例子，在六月看来写他的新闻报道就足够用了。课后，六月就找老广聊天，老广向来对青年学子照顾有加，特别是在异国他乡，还有年轻人主动找他。他们一起吃午饭，六月就利用午饭时间，从问一些私人问题开始，慢慢开始聊数学。

几次下来，他们之间的关系也有了进展。六月大学毕业了，老广决定继续在首尔大学再呆两年。于是六月就决定读老广这个方向的数学研究生。这样他们又有机会经常在一起了，老广偶尔回日本的时候，六月就跟着他，帮他拎行李，甚至还和老广夫妻一起住在京都的公寓里，六月就睡在他们家的客厅。从首尔到京都，六月和老广一起吃饭、散步、聊天，他们成为了忘年交。

（广中平佑，六月和他妻子，图片来源于网络）

六月也就有了很多机会跟老广学数学，老广从具体的例子开始，然后介绍自己的成名大作。老广告诉六月，在证明了特征为0域上的奇点消解定理以后，他花了数十年来研究特征p的情形，这是目前一个主要的公开问题。老广语重心长告诉他，他可是花了毕生精力来研究这个问题，老广已经把六月看成是自己的徒弟，他很希望六月能够接过他的衣钵。

2009年，在老广的劝说下，六月申请了几十所美国大学的研究生院。他的申请书显然比较薄弱，首先他本科专业不是数学，其次研究生课程上的也很少，并且这些研究生课程的成绩也不咋地。唯一的优势，也就是有老广这位数学泰斗给他写了推荐信。结果最终只有一所学校愿意录取他，伊利诺伊大学香槟分校。2009年的秋天，他正式成为了这所学校的研究生。

初出茅庐

来到了伊利诺伊，六月开始了他的数学研究之旅，他花了六年时间，最终完成了Rota猜想的证明。这个问题是56年前由意大利数学家Rota提出的，起源于图论。

图论的研究对象就是图，图简单来说就由顶点和边构成的集合。比如一个三角形就是由三个顶点，三条边构成的图，四边形、五边形都是图。图是组合数学最基本的研究对象。数学家考虑这样一个基本的问题。给定一张图，给你q种不同的颜料，将这张图上的所有顶点用这q种颜料来染色，要求是有边相连的两个顶点不能染上相同的颜色。问你一共有多少种不同的染色方法？

这其实是组合计数问题，比如对于三角形这样一张图，第一个顶点可以有q种染色选择，与它相邻的第一个顶点有q-1种选择，那么剩下的最后一个顶点就只有q-2种选择，所以共有q(q-1)(q-2)=q³-3q²+2q种不同染色方法，得到的这个数是关于q的多项式。这个多项式就定义为图的染色多项式（chromatic polynomial）。

做一个练习，读者可以尝试计算一下一个四边形的染色多项式是多少(答案是q⁴-4q³+6q²-3q)。

图的染色多项式的引进，最初是为了用来解决著名的四色问题。数学家通过大量计算发现，图的染色多项式本身也具有非常有趣的性质，比如这个q³-3q²+q，它的每项系数分别是:1，-3，2。取绝对值后为：1，3，2。这个数列有两个性质。

（1）单峰值(unimodal)。也就是这个序列总是先递增，到达某个最大值（顶峰）以后就一直递减，不会再上升。

（2）对数凹的(log concave)。也就是在这个序列里面任取三个连续的数，这三个数总是满足规则：左右两个数的乘积小于中间数的平方。

读者可以去验证，上面提到的这两个染色多项式都满足这样的性质。这是数学家做了大量计算以后，总结出来的规律，这个规律被称为“Read猜想”。六月做的第一件事情就是证明了这个猜想。

六月刚到伊利诺伊的时候，其实并不知道有这样一个问题，跟大多数一年级的研究新生一样，他要上很多的课程，没有太多时间做研究。但是由于广中平佑对他有过三年的指点，他开始有一些想法。在那年冬天，六月把从老广那里学到的奇点理论技巧巧妙地运用到图上面。在这过程中，他发现在图上构造奇点，就可以利用奇点的相关理论来推导出原来这个图的很多性质。例如就可以解释为什么染色多项式是对数凹的。发现这样的结果后，六月异常兴奋，于是就去查阅图论的文献，是否有前人证明过这样的结论。他这才发现，原来他已经在不知不觉中证明图论中的一个重要猜想。

六月把这个Read 猜想的证明贴到了网上以后，密歇根大学邀请六月做一个演讲，专门介绍这一工作。2010年12月3日，他在一个大报告厅里开始他的演讲，台下坐满了数学家，其中也包括那些在一年前还果断拒绝他的研究生申请的数学家。在这一天，六月的数学天赋终于得到了认可。“他的演讲优美清晰、准确到位，对于一个低年级研究生来说，能讲的如此透彻，实在难能可贵！”密歇根大学一位教授这样评价道。

初始Rota猜想

在那次报告以后，密歇根大学向他伸出橄榄枝。2011年，六月就转学到了密歇根大学。这时，六月发现Read 猜想其实是一个更宏大的问题Rota猜想的一个特例。

Rota猜想跟Read猜想类似，但是它研究的对象不再是图，而是比图更抽象的组合对象，称为“拟矩阵（matroids）”（一个图可以看成是特殊类型的拟矩阵，拟矩阵的概念是由美国数学家惠特尼（Whitney）引进的，惠特尼在几何拓扑方面上成就更为人所知，但他早年其实是做图论的，这也是一个传奇数学家。限于篇幅，我们也不给出拟矩阵的具体定义）。总之，从拟矩阵出发也可以定义出一个多项式，称为“特征多项式（characteristic polynomial）”。Rota猜想可以表述为任意拟矩阵的特征多项式的系数总是对数凹的(log concave)。

这个猜想的陈述如此简单，但是证明却极其困难。一开始，六月打算把他用来证明Read猜想的奇点理论方法直接用到Rota猜想上，但他很快发现对于更抽象的拟矩阵，这个方法不凑效了。这次失败，让六月开始重新思考认识拟矩阵背后的隐藏的数学结构。

在数学上，如果我们能够建立两个不同领域之间的联系，就可以把其中一个理论的结论和方法运用到另一个领域中，这也往往会在另一个领域发现新的现象。这一点在当代数学物理领域就很常见（比如超弦理论中通过弦对偶的思想，可以把不同的数学领域联系起来，这也产生了许多新的美妙的数学结果，关于这一点，我们将在以后写专题论述）。六月在Rota猜想上的工作，正是涉及到与另外一个深刻优美的数学领域—霍奇理论（Hodge theory）的联系。霍奇理论是1950年由苏格兰数学家威廉姆霍奇（William Hodge）建立起来的。霍奇理论的研究对象是代数簇的上同调环。从研究对象上看，霍奇理论似乎没法用来研究图或者更一般拟矩阵这些离散的对象。但是霍奇理论提出后的60多年来，数学家们已经在其他的框架下找到了很多类似的霍奇类型结构，这其中包括组合框架下的情形。六月就开始思考霍奇理论中的结构关系是否能用来解释这个对数凹（log concave）性质？在一个陌生的领域寻找相似的数学概念并不是一件容易的事情。这就好比寻找地外生命----我们只知道生命有哪些特征，但是却不知道新的生命会是什么样子。

完美合作

俄亥俄州立大学的数学家卡茨（Eric Katz）早在2011年的时候，就开始关注到六月证明Read 猜想的工作，那个时候，六月对于证明更一般的Rota猜想还没有任何头绪。卡茨认真研读了六月证明Read猜想的原文，他发现如果将证明中的一个特殊结论去掉，就可以用这个办法来给出Rota猜想的部分情形的证明。于是他跟六月联系，在这之后几个月，他们很快就一起合作完成了一篇论文(发表于2012年)，在这篇论文里，他们证明了对于一小类拟矩阵-----可实现拟矩阵（realizable matroids）的情形，Rota猜想成立。

但是可实现拟矩阵只是很小一部分，大多数的拟矩阵都是不可实现的（nonrealizable）。我们提到的起源于1950年的代数簇的霍奇理论，它的研究对象是代数簇上的上同调环。如果想证明霍奇型结构可以解释拟矩阵的Rota猜想，首先得构造拟矩阵上的类似于上同调之类的东西，对于可实现的拟矩阵，这个构造有一个非常直接的方式，这也就是为什么卡茨和六月能很快证明可实现拟矩阵情形的原因。而对于不可实现的拟矩阵，他们依然无从下手。

四年来，六月和卡茨一直尝试定义不可实现拟矩阵上的有意义的霍奇结构。在这期间，他们注意到霍奇理论的一个特殊方面----霍奇指标定理或许就足够用来解释拟矩阵的对数凹性质。

就在这个时候，另一位数学家Adiprasito加入进来了。Adiprasito是以色列耶路撒冷希伯来大学（Hebrew University of Jerusalem）的数学家。2015年，他来到普林斯顿高等研究院访问六月，Adiprasito意识到虽然霍奇指标定理就可以用来解释对数凹性质，但是要对所有拟矩阵证明霍奇指标定理成立需要证明出更多的结论，他们把这些结论统一在一起称作“凯勒包（Kaehler package）”（凯勒是20世纪德国大数学家）。当然他们最终完成了这些结论的证明，从而解决了Rota猜想。2015年11月，他们三人把文章贴在了arxiv上，此后在数学界引起了一阵轩然大波。他们的工作提供了霍奇理论的组合图景，开辟了一条解决组合数学问题的崭新的道路。

这项工作也迅速提升了六月的国际数学形象。除了获得了普林斯顿高等研究院的长期职位外，他也被认为是Fields 奖的有力竞争者。

后记

从一个没有数学背景的外行，到做出一流数学成果的科学家，六月的成长之路是非典型的。不过六月也是幸运的，那就是能够在人生的大好年华，遇上广中平佑，从此改变了一生的命运。就像令狐冲遇见了风清扬，在绝世高手身边，不知不觉中早已习得一身武艺。一旦有了用武之地，便可一展身手。

再来说说这位风清扬，老广今年已经86岁了，他依然没闲着。2017年3月，他在过去哈佛大学数学系的个人主页上，贴出了一篇长篇论文，宣称解决了前面提到的特征p域上的任意维数代数簇的奇点消解问题，目前文章正在审查中。

他向我们展示了一位数学家的努力和坚持，为了完成一个定理的证明，他可以为之奋斗，倾其一生。

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