修订版【导数的悖论】- 微积分的本质 02

2017 年 7 月 28 日 遇见数学 3Blue1Brown



来自3Blue1Brown《微积分的本质》视频:https://space.bilibili.com/88461692

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[遇见数学]根据视频内容整理文字版, 方便各位同学学习, 先来看下视频吧.



本集的目标很简单, 解释导数的意义, 另外还有第二个目标, 认识到其中的矛盾是什么, 并学会如何避开它们.



说起导数, 很多人通常会这么表述: "导数测量的是瞬时变化率". 然而你仔细想想的话, 这个说法其实自带矛盾. 在不同时间点上才会发生变化, 而当你把自己限制在一个瞬间点的时候, 也就不会没有变化的余地了.

这句话我们讲到后面你就会理解更深, 等你意识到诸如"瞬时变化率"的说法是多么不合理, 你就能体会到微积分创始的数学家们的智慧. 他们在表达这些说法的真正意义之时, 引入了一个精妙的数学定义 - 导数.

作为一个贯穿本集的示例, 想象一辆车从 A 点起, 先加速, 再减速, 直至在 100 米外的 B 点停下来, 整个过程花费 10 秒.

我们可以把这个运动用图表示出来, 竖轴代表运动的距离, 横轴则代表时间, 在横轴的任意时间点 t , 图像的高度就告诉我们, 汽车在经过 t 时间后行驶了多远. 把这样描述距离的函数称作 s(t) 关于 t 的 s 函数.

一开始这个曲线很平缓, 因为车刚开始发动速度很慢, 第 1 秒之内, 车没怎么移动, 而在接下里的几秒中, 汽车开始加速, 这对应的图像中越来越陡的曲线, 而车最后慢下来的时候,图像曲线又变得平缓了.

我们把车的速度(m/s)作为时间的函数画出来的话, 就像这个小山包一样. 爱运动。刚开始的时候速度很小, 位于过程正中的时候,汽车也达到了最高速度. 每秒移动的距离最大, 然后车渐渐慢了下来,直到最后完全停止.


那两条曲线之间肯定有什么关联, 改变了距离 - 时间的函数, 也会同时改变速度 - 时间的函数. 我们正是要学习理解这种关系的特质. 速度的大小到底是如何随着距离 - 时间函数的变化而变化.

请思考, 速度究竟代表着什么?直觉上讲, 大家都了解汽车某一时刻的速度, 就是仪表盘上车速表显示的那个数字. 直觉也告诉我们,当速度越大的时候,在距离函数上曲线上就应当更陡峭. 因为此时汽车在单位时间内移动的距离更长.

但是我们仔细考虑的话,讲一个瞬时的速度其实没有一点意义. 比如我们看一辆行驶中的汽车照片, 你肯定回答不出来,它是跑得有多快. 因为你需要拿出两个时间点来做比较, 那样你才能将距离改变的量除以时间变化量.

嗯,这才是速度的含义,也就是说单位时间内运动的距离. 那么现在再回过头来看这个速度函数, 它只需要一个 t 值 - 一个孤零零的瞬间. 但是计算速度就需要比较两个时间点上的距离.

是不是感到有点矛盾, 那就对了. 当年微积分的创始人也和你有着同样的思维冲突. 如果你想进一步理解变化率的意义, 理解如何将它应用于各种开车, 或者其他科学场景, 就需要解决这一矛盾.

我们最好先讨论现实世界的问题, 然后再讨论纯数学的情况. 试想下车速表到底是如何显示车速的. 嗯,在某个时间, 比如车运动了 3 秒之后, 车速表就可能会测量, 汽车在很小的一段时间内走了多远, 比如在 3 秒和 3.01 秒之内, 所行驶的距离. 那就可以计算车速的值.

所以说, 现实中的汽车用了这么一个方法就能绕开瞬时速度这一矛盾. 它并不会计算单个时间点上的速度, 而是去计算非常微小的一段时间内的速度.

我们把这个微小的时间间隔叫做  d t  , 可以想成之前说的 0.01 秒, 在把这段时间差内的运动的距离差叫  d s , 那么任意时间点的速度就可以用  d s d t  表示, 即一小段距离差除以一小段时间差.

我们来放大 t= 30 时, 距离 - 时间的函数图像,  d t  是这一点向右一点点. 因为时间是横轴, 纵轴代表车移动的距离,  d s  则表示  d t  这段时间内图像高度的变化.

所以  d s d t  就可以当成函数图像上很接近的两点, 随"前进上升"所连成直线的斜率. t 是任何值都无所谓, 我们指定一个 t , 它就可以给我们返回一个关于这一点的比值. 我们就是把速度看作一个关于时间的函数

首先, 选  d t  为一个很小的值 0.01, 接着从 0 到 10 之间, 按此间隔为步长, 计算这函数在  t + d t  时的值, 减去它在 t 时的值, 也就是计算时间 t 和 再经过 0.01 秒之后的距离差, 然后把这距离差除以时间的变化量  d t  , 最后就得到里在每个 t 点时的速度.

用以上的共识, 电脑只要知道里表示距离的函数图 s(t) , 它就能绘制出表示速度 v(t) 的函数图形了.

d s d t  就是函数 s 的微小变化量除以 t 的微小变化量, 不过距离求导的真正含义还差那么一点点. 在纯数学领域, 导数并不是  d t  为某个具体值时,  d s  和  d t  的比值, 而是  d t  值无限逼近 0 时, 这个比值的极限.

幸好, 从图像的角度, 求这个比值无限逼近于多少有个很精妙的意义. 如果我们随便选择一个具体的  d t  , 那么  d s d t  就是穿过图像上两点的直线的斜率.

现在  d t  越来越接近 0, 这两点也越来越靠近, 过两点直线的割线, 也就越来越逼近在 t 点时图像切线的斜率. 可以查看下面的动画: 

所以, 纯数学上导数并不是沿图像两点间直线的斜率, 而是经过图像上某一点的切线的斜率.

记得, 这个  d t  不是"无穷小", 更不是把 0 带入  d t  就可以求导量, 这个  d t  永远都是一个有限小的量, 非常非常接近于 0 .

所以尽管说瞬间的变化没有任何意义, 单可以让  d t  非常非常的接近 0 , 用这个狡猾的小技巧, 就可以让时间点的变化率变得有意义了, 这是不是很巧妙呢!

我们不用触及瞬时变化的矛盾就可以绕开它了, 而且这个技巧还有个直观的表现方法, 即函数曲线上过某一点切线的斜率.

因为瞬时的变化没有意义, 所以你最好也别把切线看作求什么某一点瞬时的变化率, 而是要把它看作求某一点附近的变化率的最佳近似.

按照微积分的传统, 只要你用了符号 d , 就等于表明, 你想要就当  d t  逼近 0 的结果

那就好比单纯解一个数学题, 我们对函数 s(t) 求导, 用的符号就写作  d s d t  , 但我们求的导数本质上并不是一个分数, 而是求当 t 的变化量越来越小时候, 这个分数(比值)的极限.

这里,我们举个具体的例子来方便理解, 当  d t  越来越小时候, 求  d s d t 会变得愈加困难, 但其实反而变得越加简单. 我们假设距离时间函数就为  s = t 3 .

我们要求在时间点 t=2 时的速度  d s d t  , 暂时先把  d t  当做有实际大小的变化量, 过会再把它逼近为 0 . 第 2 秒和第  d t + 2  秒之间的距离差, 就是 s(2+ d t ) -s(2). 由于  t 3 , 分子就变成了下面图中结果, 然后展开.

分子分母化简后到下面的结果.

那么, 当  d t  逼近 0 时候, 而是我们的时间差越来越小, 后面的这两项就能完全忽略掉. 最后又得到了一个非常简洁的 3(2)^2. 表示 t=2 时, 函数切线的斜率就是 12.

用一般的情况, 我们可以说函数  t 3  的导数, 又是一个关于 t 的导函数  3 t 2 . 求导本来是一个很复杂的过程, 我们要计算微小时间差内的微小距离的变化, 让我们不看时间差具体有多少, 又要让时间差趋近于 0 . 想想就头大, 但是我们最后却得到了一个很简洁的式子  3 t 2  .

实际求导操作中, 你不必每次都这么推一遍,  t 3 的导函数就是  3 t 2 , 嗯,就是让我们学了微积分,之后大家立刻就来知道的事情, 不用每次都从头推导.

而现在, 要把整个推导过程给演示出来, 就为了要让你体会, 考虑一个具体的  d t  时间差内的距离变化量时候, 需要做一系列的计算. 而当,你考虑让  d t  逼近 0 时候, 你就可以跳过麻烦的步骤, 问题也确实变得简单了. 这也正是微积分实用性的精华所在.

另外, 我们考虑如何解开瞬时变化率所带来的矛盾和困惑, 还是以距离 - 时间  s = t 3  的函数来说. 考虑在 t=0 , 开始车的情况, 一方面我们可以用到函数  3 t 2  得出速度为 0. 那么这辆车此时的瞬时速度为 0, 明显表示没有在移动.

但另一方面, 如果汽车在 0 秒时没有开始移动, 那它是什么时候开始东的呢?.........发现矛盾量吧. 关键在于, 这个问题是没有意义的, 问题是基于一个不存在的概念瞬时变化, 而且导数根本就不是来测量瞬时变化的.

距离 - 时间函数的导数在 0 秒时等于 0 的真正含义是指在第 0 秒附近车速的最佳近似是均速 0 m/s .

比如在一段具体的时间差内,  t = 0 和  t = 0.1  秒之间, 车确确实实在移动, 移动量 0.0001 米, 就这么一点点距离, 平均速度只有 0.01 m/s.

这里导数等于 0 的意思是, 当时就的间隔变得越来越小时, 这个表示速度的比值就越趋近于 0 , 而这不表示此时车就是静止的, 只是说它此时的运动速度近似于均速的 0 .近似而已

总之, 当你下次再听别人说导数测量的是瞬时变化率, 这一自带矛盾的概念的时候, 就请自动把它替换成变化率的最佳近似好了.




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