埃及金字塔的建造秘密: 最优化金字塔 -《数学万花筒III》

数学游戏、谜题、故事和八卦精选

时隔五年之后，《数学万花筒3》诞生了。不过，这回又有点新花样。书中依然有短小的数学知识，也有大量关于已解的和未解的难题，还有各种笑话、诗歌和轶事，更别说数学各种不同寻常的应用。但这回，在这些五花八门的内容之间还穿插着一系列关于一位维多利亚时期的侦探和他的助手的故事……

下文节选自《数学万花筒3：夏尔摩斯探案集》, 已获人邮图灵授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢! 

最优化金字塔

每当提起古埃及，我们总会想到金字塔，尤其是位于吉萨的胡夫大金字塔——这是所有金字塔中最大的一座，它旁边还有稍小的卡夫拉金字塔和孟卡拉金字塔。埃及现在发现了超过36座大金字塔以及上百小金字塔的遗迹，它们有的几乎完整，有的只剩下地基和原来墓室的一些石头——或更少。

左图：吉萨金字塔群（从后往前依次为胡夫大金字塔、卡夫拉金字塔、孟卡拉金字塔以及三座王后金字塔；由于透视的缘故，后面的金字塔看起来比实际上的小很多）；右图：曲折金字塔

研究金字塔的形状、尺寸以及朝向的文献汗牛充栋。它们中的绝大部分都是通过数上的联系来构造论据链进行推测的。胡夫大金字塔尤其受到这种方法论的青睐，与黄金分割数、π，甚至光速都扯上了各种关系。

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作者者：伊恩·斯图尔特 
出版社：人邮图灵新知

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(正版, 可开具发票请在备注里写明抬头和税号)

人邮图灵新知出版《数学万花筒 1,2,3》，其中第一本英文版在2008年出版时出人意料广受欢迎，甚至登上了英国一份知名的全国性畅销书排行榜（最高达到第六名）。于是斯图尔特教授再接再厉，打开文件柜的下一个抽屉，整理出更多好东西，结集成为《数学万花筒2》。
同上一本书相似，本书也是有趣的数学游戏、谜题、故事和八卦的大杂烩。你可从几乎任意一处着手阅读，并且书的最后给出了那些有已知答案的问题的解答，以及一些供进一步探索的补充说明。
此外，斯图尔特教授还在其中增加了海盗和探险元素，记录下了海盗红胡子船长和考古学家科罗拉多·史密斯的寻宝冒险。

本书是《数学万花筒（修订版）》和《数学万花筒2（修订版）》的姊妹篇，由伊恩·斯图尔特教授根据自己五十多年收藏的有趣的数学游戏、谜题、故事和八卦精选而成。大部分内容独立成篇，你可以从几乎任意一处着手阅读。并且本书最后给出了那些有已知答案的问题的解答，以及一些供进一步探索的补充说明。
贯穿本书的一条主线是住在贝克街222B的福洛克·夏尔摩斯及其同伴约翰·何生医生破解众多数学疑案的探案冒险，包括《一签名》、《巴斯克特球的猎犬》、《古希腊积分案》、《最后一案》以及《归来记》等。

选购建议
- 由于其大杂烩性质，不一定要先阅读《数学万花筒（修订版）》，当然结合起来阅读更好
- 本书适合中小学生阅读，但有些内容可能需要跳过
- 修订版相对2012年的旧版在可读性上有较大提高，建议更新版本
- 斯图尔特教授五十多年收藏的更多精选可参见《数学万花筒（修订版）》和《数学万花筒3：夏尔摩斯探案集》

这种方法论存在诸多问题，根本经不起推敲：数据可能本身就不精确， 测量方法更是多种多样，以至于你想要什么数就能有什么数。

关于金字塔数据最好的来源之一是由马克·莱纳编撰的《金字塔大全》。其中一个数据是金字塔的坡度：金字塔三角形的面与地平面的夹角。下面是一些数据：

你可以从下面的网址获取更多的数据：
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Egyptian_pyramids

我们很容易注意到两点。首先，试图把角度精确到分乃至秒是不明智的。位于代赫舒尔的阿蒙涅姆赫特三世的黑金字塔，它的地基边长105 米，高75米。1秒的坡度差会产生1毫米的高度差。诚然，金字塔基座的原始位置还有迹可循，一些石块的碎片也保留了下来，但基于这些保留下来的金字塔遗迹，还是很难将原始坡度的估算精确到5度以内。

阿蒙涅姆赫特三世的黑金字塔遗迹

其次，尽管所有金字塔的坡度各不相同（曲折金字塔上下坡度不同， 我们只考虑下部的坡度），但它们都接近54度左右。这是为什么呢？

1979 年， R.H.  麦克米伦试图给出解答。
参见： R.H.  Macmillan,“Pyramids  and  Pavements:  Some  Thoughts  From  Cairo,”  Mathematical

Gazette 63 (December 1979) 251–255. 他首先从一个众所周知的事实谈起。金字塔建造者在金字塔表面使用了昂贵的石材，比如白色图拉石灰岩或花岗岩。在内部，他们则使用了更便宜的材料：低品质莫卡塔姆石灰岩、砖块和碎石。因此，减少这些珍贵石材的用量是合理的。在给定此类石材量的情况下，为了满足法老尽可能造得大的要求，金字塔用什么形状才好？也就是说，在给定四个三角形的面积的情况下，坡度多大才能使体积最大？

左图：金字塔切面图；右图：最大化一个等腰三角形或等价地，一个给定边长的菱形的面积

这是道经典的微积分题目，不过我们也可以通过一些几何技巧来解决它。将金字塔沿底面的对角线做垂直切面（上面左图中的阴影三角形），我们得到了一个等腰三角形。这半个金字塔的体积与该三角形的面积成正比，而这半个金字塔的斜坡面积与该三角形的腰长成正比。因此问题转换为，给定等腰三角形的腰长，如何使等腰三角形的面积最大。将三角形沿底边对称翻转，于是我们又可以将问题转换为，在给定边长的情况下，如何使菱形的面积最大。答案是正方形（摆成菱形的样子）。因此，这个等腰三角形的顶角为90度，底角为45度。利用基础的三角学知识，我们可以得到金字塔的坡度为

这与实际的金字塔坡度的平均值很接近。

麦克米伦并没有说明这对建造金字塔意味着什么，他主要把这当成一个很好的几何练习。然而，莫斯科数学纸草书里记载了一个求截头金字塔（即塔尖被削去的金字塔）体积的方法，里面显示古埃及人早已掌握了类似的方法。它还解释了如何根据底面和坡度计算金字塔的高。此外，这份纸草书和莱因德数学纸草书都记载了如何求三角形面积的公式。因此，古埃及数学家可能早就解决了麦克米伦提出的问题。

莫斯科数学纸草书之问题14：求截头金字塔体积

由于没有找到写有此般计算的纸草书，我们没有充分的理由假设他们当时是这么考虑的。我们也没有任何证据表明，他们对于优化金字塔形状感兴趣。即便他们对此感兴趣，他们也大可利用黏土模型进行实验。或者有可能他们根据经验提出了大体正确的猜测。又或者形状的演变是趋向最经济的解决方案：这是建造者和法老都乐见的。另一方面，坡度也可能是由工程考量决定的：曲折金字塔之所以会成为那个样子，人们普遍相信是因为工程建设到一半时，它开始坍塌，所以坡度不得不减小。不管怎样，金字塔身上这一小小的数学问题，终究比它与光速之间的联系更值得我们研究。(完)

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