【博士论文】拓扑空间上的信号处理与学习

本论文的目的是介绍一系列特别设计的信号处理方法论，用于建模、解释和学习在拓扑空间内结构化的数据。这些空间大致被描述为一组点及点之间的邻域概念。在此讨论的方法和工具，当应用于在组合拓扑空间（如单元复合体）上定义的信号，或在展示非平凡属性的度量空间内（如具有非平坦度量的黎曼流形）时，具有特别的相关性和实用性。本研究背后的一个主要动机是解决和克服在传统图基表示中遇到的限制，当它们用来描述复杂系统时。本论文强调需要考虑到复杂的、多方面的、对几何敏感的相互作用，这些通过传统图模型无法充分捕捉。

本工作的贡献包括但不限于在单纯形/细胞复合体上的稀疏信号表示方法的开发、针对在单纯形/细胞复合体上定义的数据的注意力深度神经网络，以及为在黎曼流形的切线束上定义的信号专门设计的初始信号处理框架的建立，我们正式将其与无向图上的细胞剪接相连接。

这些发展对信号处理社区的影响可能是深远的，该社区只是最近开始将其历史性的基础概念与代数拓扑和微分几何的工具相结合。此外，我们特别关注使这项工作的展示一方面对更广泛的SP（信号处理）听众可访问，另一方面与（纯粹的）机器学习社区的相关结果相补充。