机器学习的数学方面的入门课程,包括监督学习,无监督学习,稀疏性和在线学习。

课程内容将视学期进度和收到的反馈而定,暂定计划如下:

(1)无监督学习与数据精简:

聚类和k-means

奇异值分解

低秩近似和Eckart-Young-Mirsky定理

降维和主成分分析

矩阵完成和Netflix奖

过度完备字典和有限框架理论

稀疏性和压缩感知

谱图理论简介。

(2) 在线监督学习:

分类器的分类和泛化介绍

一些集中不等式

稳定性和VC维

在线学习:根据专家建议和指数权重进行学习

简单介绍优化和梯度下降

https://people.math.ethz.ch/~abandeira/Math_of_ML_Lecture_Notes2021.pdf

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“机器学习是近20多年兴起的一门多领域交叉学科,涉及概率论、统计学、逼近论、凸分析、算法复杂度理论等多门学科。机器学习理论主要是设计和分析一些让 可以自动“ 学习”的算法。机器学习算法是一类从数据中自动分析获得规律,并利用规律对未知数据进行预测的算法。因为学习算法中涉及了大量的统计学理论,机器学习与统计推断学联系尤为密切,也被称为统计学习理论。算法设计方面,机器学习理论关注可以实现的,行之有效的学习算法。很多 推论问题属于 无程序可循难度,所以部分的机器学习研究是开发容易处理的近似算法。” ——中文维基百科

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近年来,随机矩阵理论(RMT)已经成为学习理论的前沿,作为一种工具来理解它的一些最重要的挑战。从深度学习模型的泛化到优化算法的精确分析,RMT提供了易于分析的模型。

第一部分:介绍和经典随机矩阵理论集合

本节介绍两个经典的随机矩阵理论集合,高斯正交集合和Wishart矩阵。通过数值实验,我们将介绍随机矩阵理论中一些最重要的分布,如半圆和马尔钦科-帕斯图,以及一些关键的概念,如通用性。 图片

第2部分:随机矩阵理论概论:斯蒂尔吉斯和R变换 本节介绍随机矩阵理论中的一些核心证明技术: Stieltjes和R变换。

第3部分:数值算法分析 本节主要介绍随机矩阵理论在数值算法分析中的应用。

第4部分:为什么深度学习有效? 本节讨论深度神经网络泛化的随机矩阵理论模型。

https://random-matrix-learning.github.io/#presentation1

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一旦相关信息以某种方式组织起来,许多困难的问题就可以很容易地解决。这篇文章的目的是教你如何组织信息在某些情况下,特定的数学结构是存在的。一般来说,线性代数就是研究这些结构的。也就是说,线性代数是关于向量和线性函数的研究。广义上说,向量是可以相加的线性函数是向量的函数,考虑向量相加。这本书的目的是教你如何组织向量空间的信息,使涉及许多变量的线性函数的问题变得容易。为了了解信息组织、向量和线性函数的一般概念,本章对每一种都有简要的章节。我们从这里开始,希望能让学生们在接下来的奥德赛之旅中拥有正确的心态; 后几章以较慢的速度介绍同样的材料。请准备好改变你对一些熟悉的数学对象的思考方式,并随身携带一支铅笔和一张纸。

地址: https://www.math.ucdavis.edu/~linear/

目录内容:

Chapter 1: What is Linear Algebra? Chapter 2: Systems of Linear Equations Chapter 3: The Simplex Method Chapter 4: Vectors in Space, n-Vectors Chapter 5: Vector Spaces Chapter 6: Linear Transformations Chapter 7: Matrices Chapter 8: Determinants Chapter 9: Subspaces and Spanning Sets Chapter 10: Linear Independence Chapter 11: Basis and Dimension Chapter 12: Eigenvalues and Eigenvectors Chapter 13: Diagonalization Chapter 14: Orthonormal Bases and Complements Chapter 15: Diagonalizing Symmetric Matrices Chapter 16: Kernel, Range, Nullity, Rank Chapter 17: Least Squares and Singular Values Appendices: Symbols, Fields, Sample Exams, Online Resources, Movie Scripts Index

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这本书的书名听起来有点神秘。如果这本书以一种错误的方式呈现了这个主题,人们为什么要读它呢?书中哪些地方做得特别“不对”?

在回答这些问题之前,让我先描述一下本文的目标受众。这本书是“荣誉线性代数”课程的课堂讲稿。这应该是高等数学学生的第一门线性代数课程。它的目标是一个学生,虽然还不是非常熟悉抽象推理,但愿意学习更严格的数学,在“烹饪书风格”的微积分类型课程。除了作为线性代数的第一门课程,它也应该是第一门向学生介绍严格证明、形式定义——简而言之,现代理论(抽象)数学风格的课程。

目标读者解释了基本概念和具体实例的非常具体的混合,它们通常出现在介绍性的线性代数文本中,具有更抽象的定义和高级书籍的典型构造。

https://www.math.brown.edu/streil/papers/LADW/LADW_2017-09-04.pdf

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机器学习是数学统计和计算机科学交叉的跨学科领域。机器学习研究统计模型和算法,以从经验数据中得出预测因子或有意义的模式。机器学习技术主要应用于搜索引擎、语音识别和自然语言处理、图像检测、机器人技术等领域。在我们的课程中,我们将讨论以下问题:学习的数学模型是什么?如何量化一个学习问题的难度/难度/复杂性?如何选择学习模型和学习算法?如何衡量机器学习的成功?

我们的课程大纲:

  1. 监督学习,非监督学习,强化学习。

  2. 机器学习泛化能力

  3. 支持向量机,核机

  4. 神经网络和深度学习

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机器学习使用各种数学领域的工具。本文试图对机器学习入门课程所需的数学背景进行总结,这门课在加州大学伯克利分校被称为CS 189/289A。我们假设读者已经熟悉多变量微积分和线性代数的基本概念(UCB数学53/54的水平)。这里介绍的大多数主题都很少涉及; 我们打算给出一个概述,并向感兴趣的读者指出更全面的处理以获得进一步的细节。请注意,本文关注的是机器学习的数学背景,而不是机器学习本身。我们将不讨论具体的机器学习模型或算法,除非可能通过强调数学概念的相关性。该文件的早期版本不包括校样。我们已开始在有助于理解的相当短的证明里加上证明。这些证明不是cs189的必要背景,但可以用来加深读者的理解。

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本课程由四个部分组成。

  • 数学基础。矩阵、向量、Lp范数、范数的几何、对称性、正确定性、特征分解。无约束优化,graident下降,凸函数,拉格朗日乘数,线性最小二乘。概率空间,随机变量,联合分布,多维高斯函数。

  • 线性分类器。线性判别分析、分离超平面、多类分类、贝叶斯决策规则、贝叶斯决策规则的几何、线性回归、逻辑回归、感知器算法、支持向量机、非线性变换。

  • 学习理论。偏差与方差、训练与测试、泛化、PAC框架、Hoeffding不等式、VC维。

  • 鲁棒性。对抗性攻击,有目标和无目标攻击,最小距离攻击,最大损失攻击,规则攻击。通过纳微扰。支持向量机的鲁棒性。

https://engineering.purdue.edu/ChanGroup/ECE595/index.html

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本文介绍了一阶优化方法及其在机器学习中的应用。这不是一门关于机器学习的课程(特别是它不涉及建模和统计方面的考虑),它侧重于使用和分析可以扩展到具有大量参数的大型数据集和模型的廉价方法。这些方法都是围绕“梯度下降”的概念而变化的,因此梯度的计算起着主要的作用。本课程包括最优化问题的基本理论性质(特别是凸分析和一阶微分学)、梯度下降法、随机梯度法、自动微分、浅层和深层网络。

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高斯过程(GPs)为核机器的学习提供了一种有原则的、实用的、概率的方法。在过去的十年中,GPs在机器学习社区中得到了越来越多的关注,这本书提供了GPs在机器学习中理论和实践方面长期需要的系统和统一的处理。该书是全面和独立的,针对研究人员和学生在机器学习和应用统计学。

这本书处理监督学习问题的回归和分类,并包括详细的算法。提出了各种协方差(核)函数,并讨论了它们的性质。从贝叶斯和经典的角度讨论了模型选择。讨论了许多与其他著名技术的联系,包括支持向量机、神经网络、正则化网络、相关向量机等。讨论了包括学习曲线和PAC-Bayesian框架在内的理论问题,并讨论了几种用于大数据集学习的近似方法。这本书包含说明性的例子和练习,和代码和数据集在网上是可得到的。附录提供了数学背景和高斯马尔可夫过程的讨论。

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