【博士论文】几何中的神经表示

机器学习的深远影响日益显现，随着新工具被技术社区和公众广泛采用。在当前科学进步的步伐下，机器学习有望进一步放大其在社会各个方面的惊人影响。 这一范式在几何学中同样具有变革性。然而，不同于许多依赖于大规模数据集和计算资源的领域，机器学习在几何学中的成功更多依赖于算法，或者更确切地说，依赖于表示——这是任何几何应用中的基本要素。过去的研究促进了对几何的理解，提升了表示能力、速度以及处理全新输入和输出模式的能力，进而催生了令人惊叹的新应用，如物体合成和场景重建。 尽管如此，仍然存在诸多挑战，例如如何理解模型选择、限制性、内部机制，以及如何确保模型的控制性和提供保障。 本论文探讨了机器学习与几何学的相互作用，提供了理论和实践工具来理解神经表示，并生成和操控它们定义的形状。论文最终利用了神经表示的进展，并将算法的强调推向极致，通过在没有数据的情况下训练生成模型来实现。这种方法完全依赖于现有理论，凸显了与传统机器学习截然不同的范式。本论文引入的工具不仅改进了现有方法，还为构思全新的应用开辟了道路。