A Boolean constraint satisfaction problem (CSP), Max-CSP$(f)$, is a maximization problem specified by a constraint $f:\{-1,1\}^k\to\{0,1\}$. An instance of the problem consists of $m$ constraint applications on $n$ Boolean variables, where each constraint application applies the constraint to $k$ literals chosen from the $n$ variables and their negations. The goal is to compute the maximum number of constraints that can be satisfied by a Boolean assignment to the $n$~variables. In the $(\gamma,\beta)$-approximation version of the problem for parameters $\gamma \geq \beta \in [0,1]$, the goal is to distinguish instances where at least $\gamma$ fraction of the constraints can be satisfied from instances where at most $\beta$ fraction of the constraints can be satisfied. In this work we completely characterize the approximability of all Boolean CSPs in the streaming model. Specifically, given $f$, $\gamma$ and $\beta$ we show that either (1) the $(\gamma,\beta)$-approximation version of Max-CSP$(f)$ has a probabilistic streaming algorithm using $O(\log n)$ space, or (2) for every $\varepsilon > 0$ the $(\gamma-\varepsilon,\beta+\varepsilon)$-approximation version of Max-CSP$(f)$ requires $\Omega(\sqrt{n})$ space for probabilistic streaming algorithms. Previously such a separation was known only for $k=2$. We stress that for $k=2$, there are only finitely many distinct problems to consider. Our positive results show wider applicability of bias-based algorithms used previously by [Guruswami-Velingker-Velusamy APPROX'17], [Chou-Golovnev-Velusamy FOCS'20] by giving a systematic way to explore biases. Our negative results combine the Fourier analytic methods of [Kapralov-Khanna-Sudan SODA'15], which we extend to a wider class of CSPs, with a rich collection of reductions among communication complexity problems that lie at the heart of the negative results.
翻译:(cSP) 限制性满意度问题, Max- CSP$ (f) 是一个最大化问题。 在 $( gamma,\\\\\\\\\\\\\\\0,0,1\\\\\美元) 限制性应用中, 每个限制性应用对从 $ 变量及其否定中选择的 $( 美元) 限制性适用。 目标是计算Boole 指派给 $- 可变的 。 在 $( gamma,\\\\\\\ x美元) 的制约性限制性能的最大数量 。 在 $( beta) 中, 以 $( comma) 代表 正在流模式中的所有Booan( 美元) 快速( 美元) 以 美元( 美元( 美元) 美元( 美元) 表示正在变现的 美元( 美元) 以美元( 美元) 美元( 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元(a) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元) 美元(a) 以显示正在变的 美元( 美元( 美元) 美元) 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元) 美元) 美元(a) 美元) 美元) 美元(美元(美元) 美元(美元(美元) 美元(美元) 美元) 美元(美元) 美元) 以显示(美元) 美元) 美元) 的(美元(美元(美元(美元) 美元) 美元) 美元) 以(美元(美元(美元) ) 美元(美元) ) ) ) ) ) 美元(美元(美元(美元) 美元(美元(美元(美元) ) ) ) ) ) 美元(美元) 美元(美元(美元(美元(美元) ) ) 美元) 美元) ) 美元) 美元) 美元) 美元(美元(美元) 美元(美元(美元(美元(美元) ) ) 美元(美元) 美元) 美元)