In this note, we consider the problem of differentially privately (DP) computing an anonymized histogram, which is defined as the multiset of counts of the input dataset (without bucket labels). In the low-privacy regime $\epsilon \geq 1$, we give an $\epsilon$-DP algorithm with an expected $\ell_1$-error bound of $O(\sqrt{n} / e^\epsilon)$. In the high-privacy regime $\epsilon < 1$, we give an $\Omega(\sqrt{n \log(1/\epsilon) / \epsilon})$ lower bound on the expected $\ell_1$ error. In both cases, our bounds asymptotically match the previously known lower/upper bounds due to [Suresh, NeurIPS 2019].


翻译:在本说明中,我们考虑了以不同方式私下(DP)计算匿名直方图的问题,该直方图被定义为输入数据集(无桶标签)的数组数数。在低原始系统 $\ epsilon\ geq 1$, 我们给低原始系统 $\ epsilon\ $\ $1$- error 算法, 预期其值为$( lsqrt{n} / e ⁇ esilon) 。 在高原始系统 $\ epsilon < 1$ 中, 我们给$\ omega (sqrt{n\ log (1/\ epsilon) /\ epslon}) $( $\ el_ 1美元) 。 在这两种情况下, 我们的界限都与先前已知的因[ Suresh, NurIPS 20199] 而导致的低/上下限值匹配。

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在数学中,多重集是对集的概念的修改,与集不同,集对每个元素允许多个实例。 为每个元素提供的实例的正整数个数称为该元素在多重集中的多重性。 结果存在无限多个多重集,它们仅包含元素a和b,但因元素的多样性而变化:(1)集{a,b}仅包含元素a和b,当将{a,b}视为多集时,每个元素的多重性为1;(2)在多重集{a,a,b}中,元素a具有多重性2,而b具有多重性1;(3)在多集{a,a,a,b,b,b}中,a和b都具有多重性3。
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