In this paper, we extend the class of kernel methods, the so-called diffusion maps (DM), and its local kernel variants, to approximate second-order differential operators defined on smooth manifolds with boundaries that naturally arise in elliptic PDE models. To achieve this goal, we introduce the Ghost Point Diffusion Maps (GPDM) estimator on an extended manifold, identified by the set of point clouds on the unknown original manifold together with a set of ghost points, specified along the estimated tangential direction at the sampled points at the boundary. The resulting GPDM estimator restricts the standard DM matrix to a set of extrapolation equations that estimates the function values at the ghost points. This adjustment is analogous to the classical ghost point method in finite-difference scheme for solving PDEs on flat domain. As opposed to the classical DM which diverges near the boundary, the proposed GPDM estimator converges pointwise even near the boundary. Applying the consistent GPDM estimator to solve the well-posed elliptic PDEs with classical boundary conditions (Dirichlet, Neumann, and Robin), we establish the convergence of the approximate solution under appropriate smoothness assumptions. We numerically validate the proposed mesh-free PDE solver on various problems defined on simple sub-manifolds embedded in Euclidean spaces as well as on an unknown manifold. Numerically, we also found that the GPDM is more accurate compared to DM in solving elliptic eigenvalue problems on bounded smooth manifolds.


翻译:在本文中, 我们扩展了内核方法的等级, 所谓的扩散图( DM) 及其本地内核变体, 以近于平滑的 PDE 模型中自然产生的边界, 在平滑的 PDE 模型中, 在平滑的 模型中, 将平滑的 平滑的 平滑的 平滑的 平滑的 平滑的 参数操作者 大约 二级 差值 。 为了实现这一目标, 我们引入了 幽滑点 扩散 地图 ( GPDM ) 在 未知的原始的 原始的 元件上, 由一组点云加上一组鬼点, 在边界的取样点上, 沿着估计的偏差点指定了一组鬼点 。 GPDM 测算器将标准的 DM 平滑滑的 矩阵限制在一组 平滑的 平滑的 平滑的 方程式中 。 这一调整类似于在平坦的 平滑的 平滑的 平滑的 平滑的假设中, 平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平滑的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平的平

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