#P-hardness of computing matrix immanants are proved for each member of a broad class of shapes and restricted sets of matrices. The class is characterized in the following way. If a shape of size $n$ in it is in form $(w,\mathbf{1}+\lambda)$ or its conjugate is in that form, where $\mathbf{1}$ is the all-$1$ vector, then $|\lambda|$ is $n^{\varepsilon}$ for some $0<\varepsilon$, $\lambda$ can be tiled with $1\times 2$ dominos and $(3w+3h(\lambda)+1)|\lambda| \le n$, where $h(\lambda)$ is the height of $\lambda$. The problem remains \#P-hard if the immanants are evaluated on $0$-$1$ matrices. We also give hardness proofs of some immanants whose shape $\lambda = (\mathbf{1}+\lambda_d)$ has size $n$ such that $|\lambda_d| = n^{\varepsilon}$ for some $0<\varepsilon<\frac{1}{2}$, and for some $w$, the shape $\lambda_d/(w)$ is tilable with $1\times 2$ dominos. The \#P-hardness result holds when these immanants are evaluated on adjacency matrices of planar, directed graphs, however, in these cases the edges have small positive integer weights.


翻译:# 计算基质外观的硬度为 $+++1\\\ lambda) 。 如果一个大小的形状为$(w,\\ mathbf{1\\\\\\\\\\\\\\\lambda) 美元, 或以美元表示, $\mbbf{\\\1} 美元是所有 $的矢量, 那么$lambda$是 $@varepsilon} 的硬度, 大约为 0. varepsilon$, $\\ lambda$可以以以下方式标注。 $2{dda$2} 和$(3w+3h(\\bda)+1)\\\ le n$, $(lamdda) $(lbda) 以美元表示正值表示, $_\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ma_ ma_ ma_ ma_ 美元表示, 美元以美元表示, 美元表示, 美元表示这些正值是正值的美元=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

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