相关性 ≠ 因果性，用图的方式打开因果关系

2020 年 8 月 29 日 机器之心

选自GitHub

作者：David Salazar

编辑：陈萍、魔王

机器学习方法是预测的有力工具，但是很多领域的工作或研究重视对因果关系的讨论。相关性并不意味着因果关系，那么如何识别因果关系呢？

David Salazar 发布了一系列博客介绍因果关系。在之前的文章中，他将因果关系定义为干预分布（interventional distribution），并介绍了两种识别因果关系的策略：后门准则和前门准则。然而，这些准则并不适用于所有因果关系。

那么一般而言，给定因果模型和不完整的度量集，如何确定因果关系可识别呢？

本文提供了一种答案：利用 c-component (confounded component) 概念开发的图标准（graphical criterion），并通过多个实例进行演示。

马尔可夫模型

当我们可以得到因果模型中所有变量的度量值时，则该因果模型为马尔可夫模型。在这种情况下，调整公式（adjustment formula）就是识别策略：如果 X, Pa(X) 的父代存在度量值，则任意因果关系 X→Y 都是可识别的。

那么，如果你没有观察到 x 的父代呢？

半马尔可夫模型

如果一个未观察到的变量在图中有两个子代，则不符合马尔可夫属性。在这种情况下我们未必能够使用调整公式。例如，如果 X 的某个父代未被观察到，则我们无法将它作为识别策略。不过，我们或许仍可以使用后门或前门准则。

我们来看一个相关示例。在如下例子中，双向虚线表示变量之间的隐藏共同原因（hidden common cause）。U 表示所有未度量变量，V 表示所有观察到的变量。

为了确定 X 对所有其他观测变量 v 的因果关系，我们必须根据观察到的干预前概率来估计干预后的概率 P(v|do(X))。

请记住这里的因果模型同时也是概率模型。特别是，它们导致了联合概率分布的分解。然而，当模型包含未观察到的混杂因素（confounder）时，我们必须将它们边缘化，以获得观测变量的联合概率分布：

在这种情况下，观测值的分解如下：

假设 P(v|do(X=x)) 表示干预，则它可以通过截断上述表达式进行表示，这样我们就不用计算 X 的概率了：

我们能使用观测变量表示 P(v|do(X)) 吗？首先，我们必须了解 confounded component。

confounded component

请注意，在这两个表达式中，未观察到的混杂因素将观察到的变量分成不相交的组：当且仅当两个变量通过双向路径连接时，它们才会被分配到同一组。在每一组中，S_k 被称为 confounded component (c-component)。在这种情况下存在两个 c-component，它们会引起两次因式分解 (c-factor)：

注意，在对所有其他变量进行干预的情况下，每个 (c-factor) Q_k 都可以解释为 S_k 中变量的干预后分布。我们可以将联合观测分布表示为 c-factor 的乘积：

反过来，如果将 Q_1 中的 P(x|u_1) 边缘化，则我们可以用 Q_1、Q_2 来定义 P(v|do(X))：

因此，P(v|do(X)) 是可识别的，前提是：a）我们可以根据干预前的概率计算干预后的概率 Q_1、Q_2；b）我们可以将 x 从估计的 Q_1 中边缘化，从而计算 Q_1^x。

事实上，Tian 和 Pearl 的研究《A General Identification Condition for Causal Effects》表明每个 c-factor 都是可识别的。因此，计算 P(v|do(X)) 的唯一条件是「当且仅当 Q_1^x 可识别」。在这种情况下：

因此，我们可以通过对 X 的值求和将 x 从 Q_1 中边缘化。

最后，对 P(v|do(X)) 的估计如下：

识别因果关系的通用标准

首先，请注意，对于任何具有双向路径的图，我们都可以通过划分 c-component 及其各自 c-factor 的方法，来分解联合概率分布：

还需要注意的是，通过干预 x 生成的截断分布可以用 c-factor 来表示：

上式中，一旦从因式分解中删除了 x，则 Q_x^x 是 x 位置的 c-factor。因此，如果 Q_x^x 是可识别的，则 P(v|do(X=x) 也是可识别的。

实际上，Tian 和 Pearl 的研究表明，当且仅当不存在将 X 连接至其子代的双向路径（仅具有双向边的路径）时，Q_x^x 可识别。因此，我们可以得到以下测试，用于确定 P(v|do(X=x) 是否可识别：

当且仅当没有双向路径将 X 连接至它的任何子代时，P(v|do(X=x) 是可识别的。

注意，如果 P(v|do(X=x) 可识别，则 P(Y|do(X=x)) 也是可识别的。因此，这一标准足以确定 P(v|do(X=x) 是否不可识别。假设我们只对单个变量 Y 的因果关系感兴趣，那么我们可以只考虑 Y 的祖代变量的子图，来简化问题。

直观理解

如何直观地理解可识别性测试呢？可识别性的关键不在于阻止 X 和 Y 之间的后门路径，而是阻止 X 与其任何子代（即 Y 的祖代）之间的后门路径。因此，通过阻断这些路径，我们可以确定观察到的关联的哪一部分是虚假的，哪些是真正的因果关系。

接下来，我们来看应用示例。

示例 1

先看上文中的示例。为什么它是可识别的？该示例中所有其他变量都是 Y 的祖代，在这种情况下我们无法简化问题。因此，我们必须查看 X 和它的子代之间是否存在双向路径：

tidy_dagitty(example, layout = "nicely", seed = 2) %>%   node_descendants("x") %>%   mutate(linetype = if_else(direction == "->", "solid", "dashed")) %>%   ggplot(aes(x = x, y = y, xend = xend, yend = yend, color = descendant)) +   geom_dag_edges(aes(end_cap = ggraph::circle(10, "mm"), edge_linetype = linetype)) +   geom_dag_point() +  geom_dag_text(col = "white") +   labs(title = "The causal effect of X is identifiable",        subtitle = "There's no bi-directed path between X and its descendats")

假设 X 和它的子代之间没有双向路径，则 X 的因果关系是可识别的。

示例 2

non_identifiable_example <- dagify(x ~ z,                                  x ~~~ z,                                  x ~~ y,                                  w ~ x,                                  w ~~ z,                                   y ~ w,                                    y ~~ z)

在本例中，为了确定因果关系是否可识别，我们需要寻找 X 及其子代之间的双向路径。如果没有，则因果关系可识别。

tidy_dagitty(non_identifiable_example, layout = "nicely", seed = 2) %>%   node_descendants("x") %>%   mutate(linetype = if_else(direction == "->", "solid", "dashed")) %>%     ggplot(aes(x = x, y = y, xend = xend, yend = yend, color = descendant)) +     geom_dag_edges(aes(end_cap = ggraph::circle(10, "mm"), edge_linetype = linetype)) +     geom_dag_point() +  geom_dag_text(col = "white")

注意，在 X 和 W（X 的子代之一）之间存在一条经过 Z 的双向路径，根据上文介绍的图标准，其因果关系不可识别。

示例 3

third_example <- dagify(z1 ~ x + z2,                        x ~ z2,                         x ~~ z2,                        x ~~ y,                        z2 ~~ y,                        z3 ~ z2,                         x ~~ z3,                        y ~ z1 + z3)

与前面的示例一样，本例中我们仍需在 X 及其子代之间寻找双向路径。

tidy_dagitty(third_example, layout = "nicely", seed = 2) %>%   node_descendants("x") %>%      mutate(linetype = if_else(direction == "->", "solid", "dashed")) %>%     ggplot(aes(x = x, y = y, xend = xend, yend = yend, color = descendant)) +     geom_dag_edges(aes(end_cap = ggraph::circle(10, "mm"), edge_linetype = linetype)) +     geom_dag_point() +  geom_dag_text(col = "white")

注意，X 与其 Y 以外的唯一子代（z1）没有双向路径。因此，其因果关系可识别。

可识别性的必要条件是什么？

对于可识别性，本文提到的测试是充分条件但并非必要条件。那么，是否存在充要条件呢？答案是肯定的，Pearl 和 Shipster（2006）提到了一种算法。它扩展了本文中的想法，根据干预前的概率返回因果关系的估计值。它是完备的且等效于 Pearl 的 do-calculus。

在 R 语言中，使用 causaleffect 软件包能够实现该算法。将其用于第一个示例，得到：

first_example_igraph <- graph.formula(x -+ z_2,                                       z_2 -+ x,                                                                               x -+ z_1,                                                                              z_2 -+ z_1,                                                                              z_1 -+ y,                                                                              y -+ z_1,                                                                              x -+ y,                                                                              z_1 -+ y,                                                                              z_2 -+ y, simplify = FALSE) %>%                                   set.edge.attribute("description", index = c(1, 2, 5, 6), "U")ce <- causal.effect(y = "y", x = "x", z = NULL, G = first_example_igraph, expr = TRUE) plot(TeX(ce), cex = 3)