障碍和触碰期权的定价

2018 年 12 月 20 号在万矿全球量化嘉年华邀请做了一个“障碍和触碰期权定价”的演讲。进入王的机器公众号，回复 BTO 可下载完整 PPT

说实话，对于该 PPT 里面的内容，1 个小时是远远不够的。而且在线上讲演我也不能用手势或者鼠标来强调重点，因此我感觉到可能有些读者会听得云里雾里，所以在此帖我为大家写下了更多细节。希望有用。

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整个讲演分四个部分：

1. 概览 (为什么会使用障碍期权，为什么需要对其准确定价)

   
   

2. 分类 (按照障碍个数、障碍方向、敲入敲出特征、看涨看跌类别、窗口类型)

   
   

3. 定价模型和方法 (通用于所有衍生品，从简单到复杂的 BS, VV, LV, SV 和 SLV 模型)

   
   

4. 偏微分方程有限差分和蒙特卡洛 (一维和二维、举例部分窗口期权定价)

1

概览

衍生品由易到难：

    线性类型的远期 --> 

    简单的欧式和数字期权 -->

    第一代奇异类的障碍和触碰期权 -->

    第二代奇异类的目标赎回远期和累计期权

远期是承诺，期权是权利。障碍期权在欧式期权加上一些触发事件，触碰在数字期权加上一些触发事件。以多头远期 (long)、欧式看涨期权 (call)，向上敲出障碍期权 (up-and-out call)，数字看涨期权 (digital call)，和向上触碰期权 (one touch up) 举例，它们的支付函数为 (T 是到期日，t 在 0 和 T 之间)

    远期 = ST - K

    欧式期权 = (ST - K)+

    障碍期权 = (ST - K)+ · I{St < B}

    数字期权 = I{ST > K}

    触碰期权 = I{ST > K} · I{St < B}

为什么买敲出或敲入障碍期权？比同等的欧式期权便宜！同等的意思是同样的行权价格、同方向的障碍水平、相等的到期日。前提是对市场的看法要准确 (见上图 USDCNY 的例子)。

为什么需要准确定价障碍期权？因为它们是更复杂产品或者交易策略 (strategy) 的基本组成部分。举例盒式远期 (box forward, BF)，根据其支付函数可推出

    BF = DOP - DOC + UOC - UOP

为了给准确这个策略定价，是不是需要准确定价其四个组成部分的障碍期权呢？

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分类

障碍期权最重要要点：

• 敲出 - 只要 S 碰到障碍，期权无效 (有时会给个返还)；否则是欧式期权

• 敲入 - 如果 S 没碰到障碍，期权无效 (有时会给个返还)；否则是欧式期权

障碍期权分类如下：

    第一层：单障碍、双障碍

-->

    第二层：敲出和敲入

-->

    第三层：看涨和看跌

--> (只适合单障碍)

    第四层：上障碍、下障碍

--> (只适合单障碍)

    第五层：普通类型、反向类型

普通类型 (regular barrier)：

• 对于敲出期权，期权在触碰障碍时 OTM 不变

• 对于敲入期权，期权在触碰障碍时 ITM 不变

反向类型 (reverse barrier)：

• 对于敲出期权，期权在触碰障碍时从 ITM 变成 OTM

• 对于敲入期权，期权在触碰障碍时从 OTM 变成 ITM

触碰期权最重要要点：

• 触碰 - 只要 S 碰到障碍，给个返还；否则期权无效

• 不触碰 - 如果 S 没碰到障碍，给个返还；否则期权无效

触碰期权分类如下：

    第一层：单障碍、双障碍

-->

    第二层：触碰和不触碰

--> (只适合单障碍)

    第三层：上障碍、下障碍

触碰期权的返还支付方式也有两种：

• 触碰即支付 (pay-at-hit, PaH)：OT 类

• 到期日支付 (pay-at-expiry, PaE)：OT 类和 NT 类

NT 类返还只能 PaE，原因是不到到期日 (expiry)，根本不能确定 S 是否没有碰到障碍，而 OT 类返还只要当 S 碰到障碍，就能确定下来时点，因此可以 PaH 和 PaE。

根据观测的障碍窗口，可分为

• 欧式窗：只在到期日 T 观测

• 美式窗：在 0 到 T 观测

• 部分窗：在 0 到 T 取一段观测，再细分为

  
  

• 远期开始 (forward start)

• 提前终止 (early end)

• 远期开始提前终止 (forward start early end)

平价公式 1：NT + OT = 折现返还

平价公式 2：KO + KI = 欧式

平价公式和模型无关，和障碍数目无关，和障碍水平的方位无关、和障碍的窗口无关。根据经验 OT 和 KO 比较容易定价，由两个平价公式可以很快计算出相对应的 NT 和 KI 价格。那么计算 OT 和 KO 需要什么样的定价模型 (pricing model) 和定价方法 (pricing method) 呢？ 

3

定价模型和方法

3.1

金融产品估值

通用方法是运用无套利原则，选择等价计量物，必要时候改变测度，可推出定价公式。简单说就是计算 E[V(T)]，即 V(T) 的期望值。又因为支付函数 V(T) 是 S(t) 的函数，因此需要对 S(t) 建模，即写出 S(t) 的随机微分方程 (SDE)。 

定价模型从上到下由易到难：

    确定波动率 (DV, Black-Scholes)

-->

    对冲掉波动率风险 (VV)

-->

    局部波动率 (LV, Dupire)

-->

    随机波动率 (SV, Heston)

-->

    随机局部波动率 (SLV, Tremor)

BS, VV 和 LV 都是一维模型，只对原生资产价格建模；而 SV 和 SLV 是二维模型，对原生资产价格和波动率建模。

计算期望值 E[V(T)] 有三种方法：

1. 硬推公式，把 E[] 用积分表示，能推出来就是解析解 (closed-form)，不能退出来就留着积分，叫半解析解 (semi-closed form)。

   
   

2. 用 Feyman-Kac 定理，将 V(0) = E[] 的偏微分方程 (Paritial Differential Equation, PDE) 形式写出来，用有限差分 (finite difference, FD) 数值解。

   
   

3. 用采样 (sampling) 和模拟 (simulation) 的模特卡洛 (Monte Carlo, MC) 方法，将 E[] 用简单的算术平均表示出来，可以用不同的方差缩减法来减小采样误差。

3.2

解析解和半解析解

BS 模型下欧式期权的解析解，Heston 模型下欧式期权的半解析解 (主要到红色椭圆圈的数值积分项)。

3.3

偏微分方程有限差分法

Feynman-Kac 是联系 SDE 和 PDE 的纽带：

• SDE 红色的漂移项 (drift) μ 变到了 PDE 的 ∂V/∂x 前面

• SDE 蓝色的扩散项 (diffusion) σ 变到了 PDE 的 ∂2V/∂x2 前面

此外绿色的支付函数 h 就是 PDE 的终止条件。

构建网格：

• 制定 t 维度下界为 0，上界为 T，其中 T 是金融产品的到期日，完全可以从其交易证实 (termsheet) 得到
  

• 制定 x 维度的下界，通常对于股价、汇率的下界就是 0 (或者下障碍)，上界要通常等于 x(0) 和 K 的最大值乘以 4 (或者上障碍)。

• 制定终止条件，可从 termsheet 中得到金融产品的 payoff

• 制定边界条件，这个比较 tricky，是 PDE 里的难点

连续的 PDE 没办法解，只能里面的各个偏导数离散化，将 PDE 变成差分方程 (difference equation)。离散方式有三种：

1. 完全显性 (fully explicit)：加强版的三叉树，计算快但结果不是绝对稳定，通常不用

2. 完全隐性 (fully implicit)：计算结果绝对稳定，但结果线性收敛，通常从 T 点开始解时用 

3. 克兰克－尼科尔森 (Crank Nicolson)：计算结果几乎绝对稳定，结果二阶收敛，通常被使用

在某个时间 t，每个点离散后都是一个方程，全部结合以来就是一组线性方程，可写成矩阵形式。解 PDE 就是制定好终止条件和边界条件好，从 T 到 0 向后一步步解上面的矩阵方程。 

3.4

蒙特卡洛法

采样 (sampling) 和模拟 (simulation) 经常被混淆：

• 采样：给定一个时点，在空间维度 (spatial dimension) 生成一维随机变量

• 模拟：给定多个时点，即在时间维度 (temporal dimension) 也在空间维度上生成两维随机变量。

采样适用于欧式期权定价，模拟适用于美式和障碍期权定价。

大数定理：从总体中选出 n 个独立同分布 (i.i.d) 的随机变量，计算样本均值 (sample mean)，当 n 越大时，样本均值越趋近总体均值 (population mean) μ。

中心极限定理：当一组 i.i.d 随机变量的总体均值和标准差为 μ 和 σ，那么

    (样本均值 - μ) / s(n)/n1/2 服从标准正态分布

上式分母 s(n)/n1/2 称为标准误差 (standard error)，也是采样误差 (sampling error)。减小它有两个方法：

1. 增大样本数 n，但是 n 上面有个根号，效率不高

2. 直接减小样本方差 σY

第二种方法可以理解是用更聪明的采样得到新的一组 Ynew，使得

    方差(Ynew) < 方差(Y)

而确保均值不变

    均值(Ynew) = 均值(Y)

样本 Ynew 或 Y 可想成期权的支付值，期权价格就是 Ynew 或 Y 的均值，如果用一组更聪明的采样使得方差减小但均值变了，那不是适得其反么？

方差缩减核心就是用聪明的采样，减低方差，保住均值。方法有很多，由易到难，由无脑生成到精心设计：

1. 对立变量 (Antithetic Variate)：几乎什么时候都能用，万金油

   
   

2. 控制变量 (Control Variate)：知道随机变量 X 的期望，而 Y 和 X 正相关，比如用几何平均亚式期权当控制变量 X，来对算术平均亚式期权 Y的价格

   
   

3. 条件抽样 (Conditioning Sampling)：Var[Y] > Var[E[Y|Z]]，假设 Y 是服从学生分布，那么 Y = X / Z1/2，其中 X 是正态分布而 Z 是卡方分布，那么给定一个特定 Z = z 值，Y 不就是正态分布了吗？因此 Z 从卡方分布用采样，Y|Z 就可以从正态分布中采样了。

   
   

4. 分层抽样 (Stratified Sampling)：Var[Y] > E[Var[Y|Z]]，给定一个特征 Z = z 值后在 Y 上采样，叫做层 (strata)。

   
   

5. 重要性抽样 (Importance Sampling)：运用变换概率测度的方法，比如深度价外看涨期权 (K 远大于 S) 的模拟的很多路径都得到 0 的支付，这样模拟效果比较低，因此可能平移 S 的漂移项而改变 S 的分布。

条件抽样和分层抽样非常类似，它们的都是由 Law of total variance 推出来的

    Var[Y] = Var[E[Y|Z]] + E[Var[Y|Z]]

上式右边两项都大于零，因此左项大于右边任意一项，有

• Var[Y] > Var[E[Y|Z]] 是条件抽样，在 Z 上采样

• Var[Y] > E[Var[Y|Z]] 是分层抽样，选择一个 z 值再在 Y 上采样

蒙特卡洛方法可以处理三种问题：

1. SDE 有解的，产品支付函数是欧式的：只用采样一个时点 (多条路径)，只有采样误差，没有离散误差。

   
   

   应用：BS 模型欧式期权

   
   

2. SDE 有解的，产品支付函数和路径有关：需要采样多个时点 (多条路径)，只有采样误差，没有离散误差。

   应用：BS 模型美式、障碍期权

   
   

3. SDE 没有解：需要采样多个时点 (多条路径)，即有采样误差，又有离散误差。

   
   

   应用：Heston 模型欧式，美式、障碍期权

4

偏微分方程有限差分和蒙特卡洛

4.1

一维模型 - 偏微分方程差分

BS 和 Dupire 模型都可推出一维 PDE，两者区别就是波动率于 t 和 (S,t) 相关。后面 12 张图分别画出不同类别的障碍和触碰部分窗期权的 PDE 流程：

1. 单障碍向上敲出

2. 双障碍敲出

3. 单向上触碰

4. 双触碰

部分窗考虑到 “远期开始”，“提早终止” 和 “远期开始提早终止”。

我觉得不需要解释，看懂 1 张图就能很快类比出剩下 11 张图。建议先能懂单障碍和单触碰的流程，双障碍和双触碰可以秒懂。

4.2

二维模型 - 偏微分方程有限差分

Heston 和 Tremor 模型都可推出二维 PDE，后者比前者多了局部波动率项。接下来 12 张图就是上节 12 张图的立体形式，所有线变成了面。

4.3

蒙特卡洛

BS 模型对应着一维蒙特卡洛方法。模拟出不同路径不同时点的原生资产价格很简单，值得一提是一个 trick，即计算 P(ti+1)。它代表着 S(t) 在 [ti，ti+1] 之间的最大值超过“上障碍 B” 的概率。

因为在 ti 和 ti+1 之间 S 还是有可能触碰障碍的，这样做导致模拟更少的路径来计算障碍期权价格，提高了效率。

Heston 模型对应着二维蒙特卡洛方法：

1. 简单的 Euler 方案：波动率 v(t) 会生成负值，一旦发现用 0 替代，效率不高。

2. 先进的 QE 方案：V(T) | v(t) 服从卡方分布，用一个正态变量 z 的二次幂函数近似。

QE 方案的原理比较复杂，有兴趣的同学可以参考上图里面 Leif Andersen 的论文。笔者试过，效率确实比 Euler 高到不知哪里去了，用过的都说好 :)。

总结：

1. 障碍期权比同等欧式期权便宜，也是很多交易策略的基本组成部分。

   
   

2. 障碍期权可以按障碍个数、障碍方向、敲入敲出特征、看涨看跌类别、窗口类型来分类。

   
   

3. 解析解最高效，但很多时候推导非常麻烦 (双障碍部分窗) 甚至不可行 (LSV 模型)。

   
   

4. 偏微分方程有限差分对于障碍和触碰期权最好，终止条件和边界条件非常好设置，基本上不费力可以解决所有类型的障碍和触碰期权定价问题。

   
   

5. 蒙特卡洛最普适，通常在没有头绪时可先尝试。此外只有它适合带有障碍的多资产期权定价，因为偏微分方程有限差分有维度诅咒 (curve of dimensionality)。

注：本次讲演没有涉及到模型校正 (大课题)，即如何从市场上交易活跃的欧式期权得到模型参数 (SDE 里的参数)。