亚洲第一位菲尔兹奖得主小平邦彦的数学世界

2018 年 2 月 9 日 图灵教育 图小鹿整理

数学是什么？这似乎不能一概而论。每一个对数学感兴趣的人多多少少都有各自的见解。正如一千个人读莎士比亚，就会有一千个哈姆雷特一样。今天小鹿给大家介绍一位数学界不可忽视的人物，他就是日本著名数学家、亚洲第一位菲尔兹奖得主小平邦彦先生。

小平の经历

可是你知道吗？小平先生年轻的时候也抄过书呢。那会儿他在学习范 •瓦尔登的《代数学》，可是他却一点儿都看不懂，于是他就抄书，一直抄到懂为止。他曾说过自己天资并不高，可是他却将一丝不苟、全身心投入做到了极致。

就是这样一个“普通人”，即使是在战争时期也没有放弃对数学的研究和学习。1942年，日本因偷袭珍珠港与美国开始了战争，小平因对二次常微方程的特征值感兴趣而发现了特征函数展开的一般式，随后他将成果写成《二阶常微分方程的特征值与 Heisenberg 的 S 矩阵理论》并托即将去普林斯顿高等研究院的汤川秀树带给 Weyl，随后 Weyl 帮他将文章发表在 American Journal of Math 上。

战时外国的杂志都没有办法进入日本，后来他在困难中完成了他的论文 Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized potential theory) ，他拜托一个驻日的美国军人将论文带到 Annals of Math 投稿，Weyl 看后觉得这是一遍非常好的论文，于是决定聘请小平去普林斯顿高等研究院, 为期一年。就这样他辗转来到了美国开始了他的新生活。他先后在约翰斯 •霍普金斯大学、哈佛大学、斯坦福大学任过教授。

小平の成就

小平先生的主要工作领域是调和积分理论、代数几何学和复流形理论。他证明代数曲面的黎曼-罗赫定理，证明狭义 Kaehler 流形是代数流形以及小平消没定理和嵌入定理。50年代同 D.C.Spencer 把 Riemann 的形变理论推广成高维复结构的形变理论，其后又进一步推广。他把代数曲面扩展到复解析曲面通过小平维数加以分类，并证明除直纹面以外极小模型存在。小平是日本学士院院士以及美国国家科学院等院士。1959 年获得日本学士院赏和日本文化勋章。1954年获得菲尔兹奖。1984、1985年度因“对复流形及代数簇的研究所做的突出贡献”而分得沃尔夫奖数学奖。

小平眼里の数学

数学印象

我要坦率地讲述一下数学家眼中的数学印象，比如像我这样专门研究数学的数学家是如何看待数学的，以便为读者提供参考。人们通常认为数学是一门由严密逻辑所构建的学问，即便不是与逻辑完全一致，也大致相同。实际上，数学与逻辑并没有多大关系。当然，数学必须遵循逻辑。不过，逻辑对于数学的作用类似于语法对于文学。书写符合语法的文章与用语法编织语言、创作小说是截然不同的。同样，依照逻辑进行推论与使用逻辑构筑数学理论也并非同一层面上的事情。任何人都能理解一般逻辑，如果将数学归为逻辑，那么任何人都能理解数学。然而众所周知，无法理解数学的初中生或高中生大有人在，语言能力优异、数学能力不足的学生十分常见。因此我认为，数学在本质上与逻辑不同。

数感

我们试着思考数学之外的自然科学，比如说物理学。物理学研究的是自然现象中的物理现象，同理可得，数学研究的是自然现象中的数学现象。那么，理解数学相当于“观察”数学现象。这里所说的“观察”不是指“用眼观看”，而是通过一定感觉所形成的感知。虽然很难用言语去描述这种感觉，不过这是一种明显不同于逻辑推理能力的纯粹的感觉，在我看来这种感知几乎接近于视觉。或许我们可以称之为直觉，不过为了凸显其纯粹性，在接下来的表述中，我将其称为“数感”。

直觉一词含有“瞬间领悟真相”的意思，所以不太合适。数感的敏锐性类似于听觉的敏锐性，也就是说基本上与是否聪明无关（本质上无关，但不意味着没有统计关联）。不过数学的理解需要凭借数感，正如乐感不好的人无法理解音乐，数感不好的人同样无法理解数学（给不擅长数学的孩子当家教时，就能明白这种感觉。对你来说已经显而易见的问题，在不擅长数学的孩子看来却怎么也无法理解，因此你会苦于不知如何解释）。

在证明定理时，数学家并没有察觉自己的数感发挥了作用，因此会以为是按照缜密的逻辑进行了证明。其实，只要用形式逻辑符号去解析证明，数学家就会发现事实并非如此。因为这样最终只会得到一串冗长的逻辑符号，实际上完全不可能证明定理（当然我的重点并不在于指责证明过程的逻辑不够严密，而是在于指出数感能帮助我们省略逻辑推理这个过程，直接引导我们走向前方）。近来经常听到人们在讨论数学感觉，可以说数学感觉的基础正是数感。所有数学家天生都具有敏锐的数感，只是自己没有察觉而已。

数学的唯一理解方法

即使不做研究，只是阅读有关数学的书和论文，也非常费时。如果只读定理部分而跳过证明过程的话，似乎很快就能读完两三本书。但是实际上，跳过证明的阅读方式如浮光掠影，留下的印象非常浅，结果多会一无所得。想要理解数学书，只能一步一步遵循证明过程。数学的证明不是单纯的论证，还具有思考实验的意味。

所谓理解证明，也不是确认论证中是否有错误，而是自己尝试重现思考实验的过程。换言之，理解也可以说是自身的体验。不可思议的是，除此之外数学没有其他的理解方法。物理学的话，即便是最新的基本粒子理论，只要阅读通俗读物，尽管读者与专家的理解方法不同，多少还是能大致理解或者至少自己觉得好像理解了。这就是外行人的理解方法，它与专家的理解方法不同。但是数学不存在外行人的理解方法，所以没人可以写出关于数学最近成果的通俗读物。

“丰富的”理论体系

现在数学的理论体系，一般是从公理体系出发，依次证明定理。公理系统仅仅是假定，只要不包含矛盾就行。数学家当然具有选取任何公理系统的自由。但是实际上，公理系统如果不能以丰富的理论体系为出发点，便毫无用处。公理系统不仅不包含矛盾，而且还必须是丰富的。考虑到这点，公理系统的自由选择范围就非常有限。在说明这个问题时，假设把数学的理论体系比作游戏，那么公理系统就相当于游戏规则。

公理系统越丰富意味着游戏越有趣。例如在围棋盘上布子的棋类游戏，现在我们熟知共有四种类型：围棋、五子棋和两种朝鲜围棋。换言之，此刻我们所熟知的公理系统只有四种。除这四种以外，还有没有其他有趣的游戏呢？例如四子棋、六子棋或者更普遍化的n 子棋又会是如何呢？其实下 n 子棋，当 n 小于 4 时先手必胜，即刻分出胜负，所以索然无味；而当 n 大于 6 时，则永远分不出胜负，也毫无趣味。发现新的有趣游戏并不容易。

当然这只是我个人的想法，不过现在大概不太能再发现一个与围棋趣味相当的游戏了。数学也是同理，发现丰富的公理系统也极其困难，因此实际上根本不存在公理系统的选择自由。

理论中丰富的普遍化

数学家通常本能地偏爱“普遍化”。例如假设存在一个基于公理系统 A 的丰富的理论体系 S，那么下面的情况是很容易想到的，从 A 中去掉若干公理得到公理系统　B，再从 B 出发将 S “普遍化”，得到普遍性理论体系 T。稍加思索就觉得 T 是比 S 更丰富的体系，因为 T 是 S 的“普遍化”结果，但是在大多数情况下，实际尝试“普遍化”后会发现，T 的内容与预想相反，多是贫瘠不堪，令人失望。此时，与其说 T 是 S 的“普遍化”，还不如说是 S 的“稀疏化”。当然，并不是所有的“普遍化”都等同于“稀疏化”，数学自古以来都是通过“普遍化”而发展起来的。不过不得不说的是，近来的理论“普遍化”不断落入“稀疏化”的怪圈之中。

那么，能发展成为丰富理论的“普遍性”，其特征是什么呢？进一步说，作为丰富理论体系出发点的公理系统，其特征又是什么？现代数学对上述问题都不感兴趣。例如群论显然是比格论更为丰富的体系，但是比起格的公理系统，群的公理系统的优势是什么呢？此外，拓扑学、代数几何、多变量函数论等基本层的理论出发点（看起来似乎）都是不值一提的“普遍化”理论，即用函数替换以前的常数作为上同调群的系数。为什么说这实际上是非常丰富的“普遍化”呢？与此相反，连续几何被视为射影几何令人惊叹的“普遍化”，但为什么其发展停滞不前呢？将数学作为一种现象直接观察时，会发现这类问题不胜枚举。

这些问题都是完全没有价值的愚蠢问题吗？抑或能否建立一门以回答此类问题为目标、研究数学现象的学科，即数学现象学呢？这些问题，我也不清楚。不过我确信，如果能够建立这门学科，那它一定会非常有趣。不过从一开始会有一个明显的难题，那就是在开始研究数学的现象学前，首先必须对数学的主要领域有一个全面的、大概的了解。正如我在上文中提到的，解决这个难题需要花费大量的时间。这也是无法撰写数学现代史的原因所在。

以上就是一些有关小平邦彦先生的简单介绍。小平先生一生都在谦逊平和中坚持着自己所爱之事。他又是怎样看待他数学的一生呢？他对日本的数学发展又有怎么样的见解？而这些见解在当今的我国又是否适用呢？推荐给大家两本小平邦彦先生的新书《惰者集》和《几何世界的邀请》，一起走近小平先生的数学世界。

作者：小平邦彦(Kunihiko Kodaira)

译者：尤斌斌

解析“数感”与数学思维
反思数学教育中的功过得失
重塑独立思考能力与数学兴趣

理解数学需要具备一种纯粹的感觉，即“数感”。本书为日本数学家、菲尔兹奖与沃尔夫奖得主小平邦彦先生的思想随笔文集，书中收录了小平邦彦先生对数学、数学教育的深思、感悟文章，记述了数学家对“数学”“数感”的独到理解，文笔幽默，深入浅出。同时，书中还辑录了小平邦彦先生在普林斯顿高等研究院时期，与赫尔曼•外尔等数学大家交流的趣闻轶事，对深入理解数学、数学教育具有深刻启示。

目

第一章　　001

数学笔记　　002

数学印象　　004

一位数学家的妄想　　014

数学的奇妙　　022

发明心理学与平面几何　　024

学术交流——围绕数学世界　　026

科学、技术与人类进步　　041

第二章　　057

长此以往，日本将陷入危险之境　　058

忘却原则的初等、中等教育——为什么、为了谁如此着急　　061

对“新数学”运动的批判　　083

什么扭曲了数学教育　　088

令人费解的日本数学教育　　096

第三章　　103

忆往昔　　104

回顾与……　　113

愈发难懂的数学　　126

回忆普林斯顿　　128

约翰斯·霍普金斯大学　　134

赫尔曼·外尔老师　　136

关于沃尔夫奖　　144

数学是什么　　149

第四章　　179

来自普林斯顿的信件　　180

写给21 世纪的主人　　234

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作者：小平邦彦(Kunihiko Kodaira)
译者：李慧慧

菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主，日本数学大家小平邦彦著作
提升观察判断与逻辑思考能力
几何入门科普作品

平面几何是观察判断与逻辑思考的精妙结合，是初等数学教育中培育创造力的好途径。本书为日本数学家、菲尔兹奖得主小平邦彦先生的几何入门作品，书中以欧几里得几何、希尔伯特几何、复数与几何为轴线，由浅入深，层层深入，从作为图形科学的几何、作为数学的几何等不同角度介绍完整的几何世界，是几何入门、训练思维与创造力的佳作。

内容概括

第一章为本书的主要部分，围绕作为图形科学的平面几何的严密体系展开。章节末尾处的费尔巴哈定理是在创作本书时添加的内容，之前的讲义中没有此部分。

第二章引用希尔伯特的《几何学基础》的开篇内容，从现代数学的角度来思考严密的平面几何究竟是什么，并探讨作为数学的平面几何与作为图形科学的平面几何有何不同，以及考察了平面几何作为图形科学的严密性如何表现。如果用作数学初等教育（高中毕业之前的教育）的教材，作为图形科学的平面几何其严密性就足够了，超过学生学习程度的严密平面几何，反而会让学生难以理解透彻。因此，我认为作为图形科学的严密平面几何是数学初等教育最合适的教材。在这一章中，有一部分内容可能难以理解，如果觉得困难，可以跳过去继续往下读。

第三章是复数在平面几何中的应用。根据复数极其初步的应用，证明了平面几何中的一些定理。章节末尾处费尔巴哈定理的证明是原本讲义中没有的内容。

目