昨晚，我在秋名山输给了一个沙发……

2018 年 12 月 23 日 中科院物理所

昨晚，我在秋名山输给了一个沙发，

它的排水沟过弯法是如此的出神入化。

虽然上面的开头略显诡异，但实际上设计沙发在狭窄的走廊里转弯，到现在都是数学家们没有解决的难题之一（数学家：不是我们不努力，奈何沙发太狡猾）。在网购变得如此方便的今天，网上买个沙发啥的根本不是新鲜事。不过在买的床太大了进不了门，买的沙发太长了过不了走廊……看着买的东西进不了自己的家门的时候，真的是忍不住想哇得一声哭出来。

《老友记》S05E16，罗斯搬家，找了瑞秋和钱钱来帮忙

所以今天我们就来讲一讲，沙发过弯背后，不为人知的秘密。

沙发问题

Moving Sofa Problem

沙发问题看起来真的是人畜无害，哪怕是小孩都看得懂这个问题在讲些啥：

L 形的直角转角的走廊内，能通过的最大沙发的面积有多大？

另外这个问题要求沙发完整地在平面内移动，不要想什么挤一挤，压一压，拆开再组装，更别想把沙发立起来这种骚操作了（否则就会问你最大体积了不是么）。这个问题最早在 1966 年由数学家 Leo Moser [1] 正式提出，从此就一直……一直驻留在了未解数学问题的名单上，直到现在还没有解决……

像这种看起来很友好，但真正算起来的难度大的吓人的堪称史上最贱数学题 [2] 的远不止这一道，比如下面这个

用 🍎，🍌 和 🍍 分别代表三个正整数的不定方程，配合标准脑筋急转弯的标题撩拨你成为那 5%，不得不说效果非常地好。在继续往下看之前，你有没有兴趣尝试一下呢？

↓

然而故事的真相一般都很残酷，最小的三个正整数解为 3 个长达八十几位的天文数字……

a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
c = 43736126779286972578612526023713901528165375581616136186214379933784234677720

看不到完整数字的话请左右滑动~

回到沙发问题上，如果把走廊的宽度设定为 1，那么此时通过的沙发的面积被称为沙发常数（sofa constant）。

迄今为止人类对沙发问题的解决所做出的最成功的努力，就是求出了一个由 18 段曲线组成的沙发形状，和比这个例子大了好多的沙发常数可能的最大值——沙发的面积一旦大于这个数，就一定不可能通过走廊了。

排水沟过弯法

Drift Cornering

千万不要小看送豆腐的

为了方便大家更好地理解搬运沙发的困难，我们可以把沙发想象成车辆，现在要做的事情是找到最大的可以过弯的车子。

简单起见，先从「正方形」入手 [3]。就和光滑斜面上的滑块一样，沙发可以轻松地通过这个转角，其实这应该也是最容易想到的方案。可惜，现在这个形状的「沙发常数」只有 1。

可以看到，正方形的平移过弯法显然已经达到了平移的极限，无论是更长的，还是更宽的沙发，都无法再塞进这个转角处。这个转弯的过程也启发我们充分发挥「车技」，让整个沙发转起来。

在这个转角的地方，我们需要转过 90 度。我们可以充分地发挥利用这个转角，使用排水沟过弯法，让沙发卡住转角的顶点处，从而整个转过去。此时可以通过的整个沙发是半圆形。我们的沙发常数也一下子可以跃升到 1.57，也就是圆周率的一半。

在半圆形的沙发中，我们利用 1/2 个圆周完成过弯。但其实，我们可以把这个 1/2 圆周再一分为二，从一辆普通轿车升级成一辆加长豪华轿车，从正常过弯变成漂移过弯。

猫和老鼠（Tom and Jerry）第 128 集忧郁的猫中被超长豪华轿车无情碾压的汤姆

当然，这种思路是可行的，数学家 John Hammersley 就提出了一个更像沙发的沙发。他把上面的半圆形沙发整体拉长，然后再在中间根据顶点处所需要的空间抠掉一部分。最后的整体形状就像下面这张图这样。

中间的挖掉的半圆半径其实可以在 0 到 1 中间任意取值，这些沙发都可以穿过 L 形的走廊。通过对一个二次函数取极值，我们就能求出最终沙发中间部分的半径应当取为 2/pi ，那么这时沙发的沙发常数就变成了

实在是比起之前大了很多，排水沟过弯法是真的好使。在这之后，1992 年由 Joseph Gerver [4] 提出了一个稍微大那么一点点的沙发形状，把沙发常数整整往上提升了 0.5%。而这已经是迄今为止知道的能通过的最大的沙发了。思路其实说起来也很简单，利用微扰的想法，如果一个沙发曲线的面积是最大的，那么沙发曲线「附近」的曲线面积也是最大的面积。由此，他得到了一共由 18 段曲线构成的沙发形状，其沙发常数达到了 2.2195。

说实话，不仔细看的话真的感受不到和上面 Hammersley 提出的那种沙发形状有什么区别

其中 V, XIII 和 XVIII 三段是线段, I, VI, XII, 和 XVII 是圆弧, II, III, VII, XI, XV 和 XVI 是圆的渐开线， IV 和 XIV 是圆的渐开线的渐开线。不过，他依旧没法证明得到的这个沙发曲线是最优的沙发曲线。

圆的渐开线，指的是将一根绕在圆上的绳子不断拉直展开，其顶点走过的曲线，图片来自 Hyrodium's Graphical MathLand

水果忍者

Fruit Ninja

在讨论啥是最优秀的沙发曲线的过程中，也出现过一段乌龙。在有段时间内，Hammersley 一度认为自己想出来的沙发形状已经是这个问题的最优解了，不过显然他想错了。

在最大沙发的证明过程中， 2.8284，也就是两倍的根号 2，一度被认为是沙发常数的可能的最大值——沙发的面积一旦大于这个最大值，就一定不可能通过走廊了。一直到 2017 年，才由 Yoav Kallus 和 Dan Romik [5,6] 打破这个尘封已久的记录，一下子把沙发常数可能的最大值缩小到了 2.37，向着这个问题的成功解决迈了一大步。

现实版水果忍者

说起来他们解决这个问题，其实就和我们平时削水果差不多。如果换一个参考系，把我们固定在沙发上，沙发通过走廊的问题其实就变成了走廊墙壁围着沙发旋转的问题了。想象有一个苹果，此时用一个 L 形的刀围着苹果不断地旋转着切，多余的部分一定不能通过这个走廊，只有剩下的部分才有可能通过这个走廊，由此我们就得到了沙发常数可能的最大值。