生猛的古埃及人，没想到偏科这么严重

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生猛的古埃及人，没想到偏科这么严重

2018 年 9 月 13 日 中科院物理所

干啥都生猛的古埃及人，是个脑回路特别清奇的存在。他们在土地测量的过程中发展出了几何学，更是登峰造极地创造了金字塔这样的世界奇观。但他们其实偏科很严重，代数水平非常一言难尽，甚至还发明了一种反人类的分数表达方法。

古埃及人几何水平超群，建个把金字塔也不在话下，但代数就......图片来源：sciencealert.com

古埃及人是怎么写分数的？

埃及人写分数，用的是一种我们现代人很难理解的方法，他们非得将所有的分数都写成好几个不同的“n分之一”的和。

一些用象形文字表示的分数。图片来源：WordPress.com

比方说3/4古埃及人是不理解的，他们得写成1/4+1/2，2/5则写成1/4+1/10+1/20。像是计算3/4+5/7这种通个分就能解决的问题，古埃及人光是写式子就得写到吐血，这在进行分数运算时会产生非常庞大的工作量，严重影响了的埃及数学的发展。

类似“n分之一”的分数是最简单的分数，它们又叫做“单位分数”，也许是这种简洁之美打动了古埃及人，他们毅然决然地在这条非主流分数之路上走了下去，为了表彰他们的坚持，数学家就将单位分数称为“埃及分数”。

埃及分数有什么价值？

当然，古埃及人设计这么复杂的分数形式也不是故意难为自己，事实上这种分数在日常生活中有着非常高的应用价值：假使你和你的小伙伴八个人分五个饼，你当然知道一个人会得到5/8个饼，但问题是，你难道真的要把这五个饼均分成40个小块，再一人拿走五块吗？

那分出来的可能就是饼丝了。

但是埃及分数就能解决这个问题：5/8=1/2+1/8，那么我们就可以先把四个饼一分为二，一人拿到半张饼，再把最后一张饼分成八份，一人拿走一份就行了。

用埃及分数，古埃及人可以轻松地分地、分食物、分装备（？），轻松又高效。图片来源：maths.surrey.ac.uk

再比如这道经典的小学奥数题目

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「答案」

一位村民出面帮忙解决了这个难题。他提供了一头牛，这样一来，一共有12头牛，3个儿子分别获赠6头、3头和2头牛。他们分完牛还剩下1头，归还村民就可以了

这个小故事提出的数学问题，就是如何把有理数分解成3个单位分数之和。

所以说埃及分数确实具有研究价值的，因此现代的数学家们也开始钻研如何将任意有理数m/n写成单位分数的和，还创造出一种算法——“贪心算法”。

贪心的算法

我们先来考虑m/n小于1的情况。贪心算法的思路也比较简单，先找最大的但不超过m/n的单位分数，把它写下来，然后看看剩下了多少，如果是单位分数的话就完事了；如果不是的话，就重复之前的操作。

举个例子，如果我们要将5/22写成单位分数的和，那应该怎么写呢？

第一步

先看看最大的不超过5/22的单位分数是多少。假设分母是k，那么我们就有以下的不等式：1/k < 5/22.

所以我们有k>22/5=4.4，而符合这个条件的最小的k，就是k=5。所以，我们写出的第一项就是1/5，也就是5/22 = 1/5 + 3/110.

第二步

3/110还不是单位分数，所以我们要对3/110进行相同的操作。假设最大的不超过3/110的单位分数是1/k，那么它满足1/k < 3/110.

所以有k>110/3=36.666……符合这个条件最小的k是37，所以接下来的一项就是1/37，这回凑巧的是，剩下的恰好是个单位分数1/4070，所以我们就成功将5/22写成了单位分数的和：5/22 = 1/5 + 1/37 + 1/4070.

当然，贪心算法局限性也很明显，如果我们要将有理数写成单位分数的和，我们自然希望这个和越简单越好，但贪心算法算出来往往非常复杂。因此直到今天，数学家们还在努力研究能把有理数拆分成最简洁的单位分数和的方法，由此也衍生出许多的课题和猜想。埃及分数虽然没有成为今天通用的算法，但它也像金字塔一样，蕴藏着巨大的宝藏，也给后世文明无穷的智慧启迪。

参考资料：

https://www.guokr.com/article/442379/

来源：果壳少年