【极值和鞍点】图解高等数学-下 14

11.7 极值和鞍点

多元函数函数的最值需要通过函数的偏导数来求解. 不过先来回顾下一元函数求极值的步骤:

二元函数也类似这样的请看, 极值点可能出现在区域边界点或两个偏导为 0 的内点或一个或两个偏导数不存在的地方. 

二元函数的局部极值

观察下面两条图形中鞍点:

观察下面函数 $x^2-y^2$ 的鞍点(红点), 函数没有局部极值.

上面定理就是说如果D(a,b) > 0, 则曲面在任何方向以同样的方式弯曲:如果 $f_{\text{xx}}$ < 0 , 则朝下, 产生局部极大;如果 $f_{\text{xx}}$ > 0 , 则朝上, 产生局部极小;

如果D(a,b) < 0, 则曲面某些方向向上, 某些方向向下, 从而会有鞍点的产生.

海森矩阵(Hessian matrix) 为下面矩阵形式, 其行列式即为上面判别式.