CAD/CAE高精度仿真分析中的关键几何计算理论与方法：研究进展与趋势

2018 年 11 月 15 日 中国计算机学会

CCF于2018年10月出版了新一期《中国计算机科学技术发展报告》，对AI与系统软件的深度融合等10个方向的研究进展做了详细的介绍和讨论。我们将分期分享报告中的精彩内容。请加入CCF，登录CCF数字图书馆下载和浏览。

1. 引言

先进制造产业的发展水平已成为国家核心竞争力的重要标志。近年来，为进一步提升产品制造业的智能化水平和转型升级，德国政府推出了“工业4.0”计划，美国制造业领域提出了“工业互联网”概念，我国也于2016年5月推出了“中国制造2025”。上述三种计划纲领的核心是智能制造技术。推进先进制造与智能制造的快速发展，是全球工业化发展的必由之路，也是中国制造转型升级的主攻方向。

计算机辅助设计(CAD)与计算机辅助工程(CAE)是先进制造领域的重要组成部分，CAD与CAE相关技术的研发对打破高端制造领域的国外技术壁垒起着关键作用。CAD技术起始于20世纪50年代, 主要采用前沿计算机技术辅助工程产品的几何外形设计。CAD技术从最初的二维草图模型设计, 依次经历了三维线框模型、曲面模型、实体模型和特征模型的发展过程。同时, 从设计方法上, 也经历了从静态设计到以参数化特征造型为基础的动态设计的发展过程。目前的CAD造型系统发展日益成熟且稳定, 涌现了如CATIA, UG, SolidWorks, Pro/E, SpaceClaim等各种高端软件系统, 它们广泛应用于各种复杂工业产品的造型, 如汽车、飞机、轮船等。另一方面, CAE技术与CAD技术几乎同时起步, 却又独立发展. CAE技术也起步于20世纪50年代, 目前发展也已经比较成熟。传统的CAE技术主要指采用计算机仿真技术, 对工程设计产品进行功能、性能与安全可靠性分析, 模拟和预测其未来的工作状态和运行行为, 以便及早发现设计缺陷。目前的CAE技术可对产品部件和整体装配模型进行各种复杂物理现象的仿真分析, 如力学分析、热力学分析、电磁场分析、流体分析等以及各种耦合问题分析。同时也涌现了各种工业仿真计算软件系统, 如Ansys, Fluent, Abaqus等，主要采用有限元方法(finite element method, FEM)或其变体来求解在一定外在环境及物理条件下偏微分方程的边值问题。图1给出了CAD与CAE的对比。

如何高效地实现高精度物理模拟仿真，以及实现设计与仿真的无缝融合，则是计算机辅助设计与工程、计算机图形学、计算力学等多个学科交叉领域富有挑战性的研究课题。近年来, 面向高精度仿真分析的新型计算方法（如等几何分析方法）成为研究热点，不仅为数值模拟和设计仿真无缝集成提供了有效途径，而且为几何计算提出了新的研究课题和挑战。因此，非常有必要对这一研究方向的研究背景、关键科学和工程问题、国内外研究现状进行详细介绍，并对其将来发展趋势做深入分析，让广大读者对高精度仿真分析的关键几何计算理论及方法的发展现状、方向和趋势有一个大致的了解，以吸引相关领域更多的学者和学生积极投入到这一研究方向。

图1 CAD技术和CAE技术之间的对比

按照CAD/CAE 中产品设计流程及数值仿真方法中的前处理、求解器、后处理这一阶段流程，本进展报告的主题相关内容主要包括：1)面向设计仿真无缝融合的等几何分析方法；2)面向等几何分析的新型样条建模理论；3)面向等几何分析的计算域参数化方法；4)面向等几何分析的高质量六面体网格生成；5)高效灵活的新型等几何分析方法；6)面向高精度仿真的CAD模型结构简化理论与方法。需要说明的是，上述六大主题内容并不是互相孤立的，而是一个有机的整体：第一个主题是对等几何分析思想的总体介绍和相关工作的研究总结；第五个主题是从计算效率提升的角度介绍最近涌现的新型等几何分析方法；其余四个主题则分别从不同的角度为等几何分析建立了重要的几何基础。本进展报告将围绕以上主题，分别对其研究背景与问题概述、国内外研究现状（限于篇幅，微信文章进行了删节，详细资料请点击阅读原文浏览）、国内与国外研究进展比较、发展趋势与展望进行详细介绍和深入分析。

2. 国内与国外研究进展比较

2.1 面向设计仿真无缝融合的等几何分析及其扩展方法

等几何分析方法目前在计算力学领域正如日中天，有大量的研究人员从事相关研究，欧洲和美国也有几个大型科研项目支持等几何分析的相关研究。在国外的研究团队中，主要以等几何分析的提出者Tom Hughes 教授团队及其弟子团队为主，其弟子团队遍布美国、意大利、瑞士、德国、韩国等国家，他们主要侧重于研究等几何分析的新理论、新方法及其在新问题中的应用。德国以欧洲科学院院士Timon Rabczuk 院士的学术团队为主，主要侧重于自适应的等几何分析方法及等几何配点法研究，卢森堡以Stephane Bordas 教授的研究团队为主，主要侧重于新型等几何分析方法及等几何边界元方法的研究。此外，华人科学家在该领域也做出了重要贡献，美国卡耐基梅隆大学的Jessica Zhang 教授的研究团队在基于截断细分模式的等几何分析、等几何配点法等研究方向做出了重要成果；美国威斯康辛大学的钱小平教授所领导的研究团队在等几何分析形状优化和拓扑优化、基于三角样条和四面体样条的等几何分析方法等研究方向也做出了重要贡献。总体来讲，目前还是国外研究人员引领等几何分析领域的发展。

相对于国外研究的如火如荼，国内等几何分析方面的研究起步较晚，但在领域相关专家的积极推动下，目前等几何分析的相关研究在国内的影响力越来越大。2018年3月，杭州电子科技大学徐岗教授在计算机图形学学术交流平台GAMES上组织了四期关于等几何分析的在线教程，共邀请了国内8位专家学者对等几何分析的相关基础性问题进行了介绍，相关课件和视频文件可在GAMES网址下载¹；2018年8月初，大连理工大学罗钟铉教授团队组织了网格生成与等几何分析国际学术会议，Tom Hughes 教授和Tom Sederberg 教授均应邀参加² ；2018年8月底，在桂林举办的全国计算机辅助设计、图形学及几何计算联合会议上，徐岗教授和浙江大学陈建军教授联合组织了第一届几何计算与力学仿真前沿交叉学术论坛，共邀请了15位相关专家做邀请报告。这些学术活动的组织和开展，为推动等几何分析在国内学术界和产业界的发展提供了重要平台和基础。

总体来看，国内从事等几何分析的计算力学领域的代表性团队主要有：厦门大学的王东东教授团队主要侧重于等几何分析中边界条件的施加以及无网格与等几何分析相结合的新型数值方法等；河海大学的余天堂教授团队主要侧重于等几何分析在各种力学仿真问题中的应用；北京航空航天大学的赵罡教授团队主要聚焦于基于T样条及裁剪几何的等几何分析相关研究；湖南大学的张见明教授团队主要从事等几何边界面方法的研究，并已开发出具有实际工程应用实例的原型系统；西北工业大学张卫红教授团队在基于等几何分析的外形和拓扑优化等研究方向做出了重要贡献；杭州电子科技大学徐岗团队及其合作者在计算域与物理场样条空间相异的新型等几何分析框架方面做出了开创性工作；华中科技大学的黄正东、王书亭教授团队在等几何分析的相关问题上也做出了重要成果。此外，国内计算力学的青年才俊也开始在等几何分析领域崭露头角，比如大连理工大学的祝雪峰博士、北京航空航天大学的王伟博士、西北工业大学的贾悦博士和万能博士、华南理工大学的王英俊博士、湘潭大学的尹硕辉博士、广州大学的刘义捷博士等等。

2.2 面向等几何分析的新型样条建模理论

开发挖掘新型的适合分析仿真的样条工具是等几何分析为几何计算领域提出的新课题和新挑战。在这一研究方向中，国内研究人员做出了重要贡献，在几种重要的新型样条表示形式中处于国际领先水平。国内代表性的研究团队包括：中国科学技术大学的陈发来团队在T网格上的样条上的系列工作，建立了其理论基础，并给出了基于该样条的等几何分析的基本框架。大连理工大学的李崇军教授团队在T网格上的样条空间的维数计算上也做出了一系列工作。在T样条方面，中国科学技术大学的李新副教授做出了一系列重要工作，包括裁剪NURBS到T样条的转化，任意拓扑T样条的定义，适合分析的T样条和适合分析++T样条的提出等等。另外，北京航空航天大学的赵罡教授团队在T样条混合函数的基本性质以及T样条在裁剪几何的等几何分析上的应用展开了研究。浙江大学汪国昭教授及其弟子在变次数B样条及非多项式空间样条的构造方面做出了一系列重要工作，南京航空航天大学的唐月红教授团队的研究工作主要集中在基于T样条的逆向工程上，苏州大学的康红梅博士在Box样条，层次Box样条以及层次Loop细分的构造以及在等几何分析中的应用展开了系统研究，湖南师范大学的潘青教授在基于扩展细分方法的等几何分析方法及其收敛性证明方面做出了一系列重要工作。国外代表性的研究团队包括：杨伯翰大学的Tom Sederberg教授，南洋理工大学的郑建民教授团队主要集中在T样条在几何设计上的算法研究上，Tom Hughes教授，杨伯翰大学的Mike Scott教授主要集中在T样条在等几何分析上的应用研究上，美国卡耐基梅隆大学Jessica Zhang 教授的研究团队主要集中在体上和复杂拓扑上的局部细分样条的研究，意大利的Buffa教授团队主要集中在T样条在等几何分析中的基本理论研究，奥地利林茨大学的Bert Juttler教授团队的研究工作主要集中在层次B样条理论及其应用，挪威奥斯陆大学的Tor Dokken教授团队的研究工作主要集中在LR 样条及其应用，法国INRIA的Bernard Mourrain 教授团队在复杂拓扑几何光滑连续样条空间及其基函数构造上做出了重要成果。总体来看，国内研究团队和国外研究团队在这一研究课题上各有特色，而且在这一研究方向，涌现出较多的国内外合作研究成果。

2.3 面向等几何分析的计算域参数化

计算域参数化是等几何分析向前发展的重要瓶颈问题，属于几何计算领域的范畴。在这一研究方向中，国内研究人员做出了重要贡献，处于国际领先水平。国内代表性的研究团队包括：中国科学技术大学陈发来教授团队主要聚焦于满足双射条件的计算域参数化问题，提出了一系列在理论上可以保证无翻转的计算域参数化方法；杭州电子科技大学徐岗教授团队最早提出了适合分析的参数化问题，目前主要研究基于CAD边界的复杂计算域的高质量平面参数化及体参数化问题；合肥工业大学的吴梦博士主要聚焦于奇异参数化理论的研究。国外代表性的研究团队包括：美国卡耐基梅隆大学Jessica Zhang 博士的研究团队主要聚焦于基于三角网格边界表示的体参数化方法及T样条体参数化方法；美国威斯康辛大学的钱小平教授团队主要聚焦于基于三角样条和四面体样条表示的计算域参数化构造方法；奥地利Bert Juttler 教授团队主要研究满足光滑约束条件的多面片平面参数化问题以及复杂区域剖分中分割面的构造问题。总体来看，国内研究团队主要聚焦于由CAD样条边界信息出发构造高质量计算域参数化问题，而国外研究团队主要研究由离散三角网格边界出发构造体参数化的问题。另一方面，在计算域参数化这一研究方向，国内外学术交流合作日益频繁，已出现若干国内外共同合作完成的学术成果。

2.4 面向等几何分析的高质量六面体网格生成

等几何分析与传统有限元方法相比，可以提高计算精度，简化设计和分析流程。但是，等几何分析需要一个前提：将样条曲面转换为体样条表示，而这一点，需要计算模型内部高质量的结构化六面体网格。数字几何、计算力学、计算机辅助设计等诸多领域的众多学者都对此问题充满兴趣。法国INRIA的Pierre Alliez教授建议网格的边应该和曲面的主曲率线尽量吻合；德国柏林自由大学的Konrad Polthier教授尝试用分支覆盖（Branch Cover）将标架场转换成微分形式。法国INRIA的Bruno Levy教授研究基于Centroidal Voronoi Tessellation的体网格生成算法。香港的雷诺铭教授团队研究如何用拟共形几何手段来提高网格质量；赵辉博士研究了多立方体法中四边形网格成为多立方体边界的拓扑条件。浙江大学高曙明教授团队对多子区域法有很深的研究，通过插入薄板、模糊聚类、模型的伪扫掠模型分解等手段生成六面体网格；浙江大学郑耀和陈建军教授团队在基于六面体的边界层网格方面取得突破性进展，为流体力学高精度仿真提供了重要几何工具^[263]；浙江大学黄劲教授团队利用标架场方法及与多立方体法结合生成六面体网格，能够比较好的保持模型的几何特征。但是由于缺乏理论根基，算法中奇异点、奇异线的产生和分布不可控，其形状的分析也非常困难。大连理工大学罗钟铉、雷娜教授团队发现了曲面叶状结构、Strebel微分和六面体网格生成之间的本质关联，为六面体网格生成建立了坚实的理论基础，并提出和实现了能够控制奇异点和奇异线的自动化六面体网格生成算法。但算法并没有关注模型的几何特性，因而在保持模型几何特征方面比较困难。虽然国内外在此领域的研究都有不小的进展，但大多数研究都是比较经验性的，缺乏理论支撑。一方面，六面体网格生成需要建立严谨普适的理论框架，另一方面，六面体网格需要满足保持特征、疏密性、力学高精度仿真等实际应用要求。同时满足这两方面要求的六面体网格生成算法还需要研究人员不断努力。

2.5 面向高精度仿真的CAD模型结构简化

面向高精度仿真的CAD模型结构简化是CAD/CAE集成的瓶颈问题，交叉于CAD，CAE两个独立的研究领域，难度大，国内外的相关研究团队少。其中，国外主要团队有苏格兰的Belfast Queen’s University的Armstrong和Robison等、法国Leon等、美国威斯康辛麦迪逊大学Suresh等。这些研究者在该领域，一般都有数十年积累，工作相对做的比较全面、完整。如Amstrong在含模型简化的模型理想化方面有着长期的研究，对各种对称情形的处理也有诸多研究工作。Leon团队主要关注模型简化，在几何及拓扑简化、装配体模型简化方面做了系列的研究工作。Suresh团队主要从事后验特征抑制误差（称为特征灵敏度）估计等问题的研究，并由此对比其与拓扑灵敏度的关系。该团队近几年也开始进行了拓扑优化的研究。

国内研究团队主要有合肥工业大学的刘晓平教授团队、浙江大学高曙明教授和李明博士团队等。合工大团队首先提出了多态模型概念，对问题的解决提供了崭新的思路。浙大团队在各种模型简化方法以及特征识别方面做了出色工作；此外，该团队也对后验特征抑制误差估计做了系列深入研究，得到了一系列重要成果。

3. 发展趋势与展望

随着智能制造的迅猛发展，CAD/CAE高精度仿真分析的技术需求为日益成熟的几何设计与计算领域提出了新的研究课题。本文依据目前高精度仿真分析亟需解决的关键几何计算问题[264]，重点介绍了面向设计仿真无缝融合的等几何分析方法、面向等几何分析的新型样条建模理论、面向等几何分析的计算域参数化方法、面向等几何分析的高质量六面体网格生成、高效灵活的新型等几何分析方法、面向高精度仿真的CAD模型结构简化理论与方法等六个方向的相关工作和研究进展。总体来看，面向高精度仿真分析的几何计算问题研究仍处于初步阶段，目前发展的主要趋势可概括为：由特殊问题到一般问题，由简单问题到复杂问题，由二维问题到三维问题，由静态问题到动态问题，由线性问题到非线性问题。

本报告所总结的面向高精度仿真分析的五大研究方向仍存在大量有待解决的问题和挑战，同时这也是未来的研究重点和可能的发展方向。下面将依次介绍。

3.1 面向等几何分析的新型样条建模理论

在适合分析的新型样条理论研究方面，主要有下面一些重要的研究方向值得进一步探索：

1) 局部k-加细的样条表示：在等几何分析中，增加的自由度可以通过h-细分（网格单元变小，即节点插入），p-细分（提高基函数次数，即升阶）和k-细分（结合h-细分和p-细分，新增加的节点处的光滑性也增加）。而对于局部加细样条，目前的研究主要集中在基于节点插入的局部加细样条上，所以如何在一个统一的框架下，找到基于升阶的局部加细样条并如何自然的将它们结合起来，对于某些仿真分析问题具有重要的应用价值。

2) 在所有的局部加细样条中（T样条，PHT样条，LR B样条和HB 样条等），每一个都具有一定的局限性，主要体现在两个方面：a）是否具有简单的构造基函数的方法从而可以融入当前的造型系统；b）是否具有严格的数学理论从而可以稳定的应用于等几何分析。其中，适合分析的T样条基本满足上述两个条件，但适合分析的T样条的局部加细算法可能导致额外的节点插入。因此，如何寻找一种新颖的样条表示形式从而可以完美满足上面两个要求，这也是一个非常重要的课题。

3) 若将上述样条推广到任意拓扑，一个无法避免的问题就是奇异点。这里面有一系列重要的研究课题：包括奇异点处的最优收敛问题，非均匀节点奇异点处曲面质量问题，奇异点处的局部加细问题，奇异点处的保几何加细问题等等。

4) 体样条相关问题的研究是将等几何分析推向实用的重要理论基础。如何建立定义在非结构化六面体网格上的光滑体样条理论体系，是其中的难点问题。

3.2 面向等几何分析的计算域参数化方法

目前，面向等几何分析的计算域参数化问题仍然没有完全解决，值得研究的方向包括：

1) 对于外形复杂的CAD模型，构造适合分析的体参数化，目前仍是一个悬而未决的难题。实际应用中的CAD模型通常包含大量的裁剪曲面，如何构造能够精确保持裁剪曲面信息的体参数化，目前鲜有研究工作涉及，仍是影响等几何分析应用广度的瓶颈问题。

2) 在等几何分析领域, 目前计算域最优参数化的相关工作主要集中面向静态等几何分析问题,而动态等几何分析问题对计算域参数化的敏感度更强。对于时间相关的动态仿真问题,在不同时刻具有不同的数值解,如果任一时刻计算域均采用同一参数化进行表示,则所得到的每个时刻的数值解就会有比较大的误差。而在 CAD 产品模型的多学科物理场模拟问题中,经常涉及到流体力学、传热分析等动态仿真问题,因此,在保持自由度数目不变的前提下,研究面向动态等几何分析的时变参数化问题,便成为当务之急。

3) 对于时间相关的动态等几何分析问题,如何根据不同时刻的数值解特征,既能自适应地进行局部加细以提高仿真精度,又能在精度达到要求的区域自适应地进行局部加粗以减少计算成本,从而保证在适当的自由度数目下,尽可能提高仿真精度,实现仿真精度和计算效率的最佳平衡,也是一个值得深入研究的课题。

3.3 面向等几何分析的高质量六面体网格生成

六面体网格生成目前仍是困扰网格生成和等几何分析的瓶颈问题，需要进一步研究的方向包括：

1) 目前，基于曲面叶状结构的六面体网格生成算法侧重考虑了流形的拓扑结构和共形结构，而忽略了几何信息。在实际应用中，网格化需要充分考虑曲面的几何特征，特别是曲面的主曲率方向，曲面的特征曲线，尖锐的折角曲线等等。大多数情况下需要加入更多的奇异点或奇异线，来使得六面体网格化更好地适应几何特征。面对这个挑战，近日，大连理工大学罗钟铉教授与雷娜教授团队在等几何分析与网格生成国际会议上，提出了保特征的六面体网格生成方法，通过采用添加特征线约束，结合体叶状结构，展示了成功保持目标几何特征的算例。相信沿着这个思路，必将取得“神圣网格”问题的终极突破；

2) 面向四面体网格的编辑和处理方法已比较成熟，但面向六面体网格的编辑和处理方法的相关研究刚刚起步，六面体网格简化、奇异结构编辑等问题值得深入研究；

3.4 高效灵活的新型等几何分析方法

等几何分析求解的理论和技术框架目前已相对成熟，但仍有一些值得深入研究的课题：

1) 对于等几何分析配点法而言，其收敛性仍未从理论上完整证明，仍需值得深入研究；

2) 可局部加细样条空间上的配点法鲜有人研究，等几何配点法的误差估计还没有理论上的进展，而等几何分析中采用可局部加细的样条时，误差估计子有着重要的地位；

3) 细分方法还没有在等几何配点法中得到应用。细分曲面是进行任意拓扑复杂曲面造型的强有力工具,并已被集成应用到等几何伽略金方法之中。遗憾的是,目前还没有基于细分模式的等几何配点方法, 其主要困难在于如何在细分过程对采样点进行选择和自动更新。进一步,尽管等几何伽略金方法已被应用于服装动态模拟问题,但实时性远未达到。若能将高效的等几何配点法和可表示复杂拓扑的细分造型模式结合起来,服装的实时动态仿真问题的解决指日可待；

4) 将两种新型等几何分析方法结合起来考虑，也是值得研究的问题，例如可以将配点法和计算域与物理场样条空间相异的新型等几何分析方法结合起来，将在灵活性和求解效率上取得进一步提升；

5) 可视化功能是CAD模型分析仿真的后处理工作。由于等几何分析所求解得到的物理场具有精确的高阶数学表达，因而在面向等几何分析的可视化方面，应有不少可挖掘的研究课题;

6) 与有限元方法相比，等几何分析方法本身所具有的特性可能在图形图像处理、计算机视觉等方面具有应用潜力。目前虽然已有一些尝试性的工作，但这一方向仍值得进一步深入研究。

3.5 面向高精度仿真的CAD模型结构简化理论与方法

整体而言, CAD模型的几何简化操作已经发展相对成熟, 各种方法也很多。然而, 定量评价一个或多个特征对工程仿真精度的影响仍处于起步阶段。如何把两者进行有效结合, 生成仿真精度可控的简化模型, 仍然有待持续长久的研究, 以在实际工业中广泛应用。目前, 仍有如下方向有待深入研究。

1) 特征相互影响。二阶特征抑制误差的概念首次研究了特征间相互作用对工程仿真精度的影响。然而, 此方面的研究才处于起步阶段, 有待进一步的扩展。目前此方法仅对二维用Bézier曲线表示的边界特征给出具体误差解析表示, 具体扩展此方法至三维自由特征尚不明确。此外, 目前主要考虑了多个边界特征情形, 通过扩展二阶SSA实现。

相应地, 可进一步扩展高阶拓扑灵敏度, 实现对多个内部特征相互影响情形。而对于边界特征与内部特征均存在的情形, 需要建立某种新型的高阶拓扑-形状灵敏度实现。最后, 目前的基于灵敏度分析的方法会得到非常复杂的高阶特征抑制误差表示, 未来工作还需要研究如何给出更加简洁的高阶特征抑制误差。

2) 误差估计的可信度。目前各种后验特征抑制误差估计方法在许多情形下会具有很好的精度, 然而在某些特殊情形下精度不足。如何保证所有情况下误差估计的可信度是个重要挑战。本质上来说, 误差估计在所有情形下的可信度是比其在绝大多数情形下的高精度更重要的事情。解决此问题, 需要通过建立误差的一个紧致的上下界来实现。

3) 简化模型或其网格生成的整体过程。对于复杂模型, 我们需要在误差估计指导的基础上, 最终生成工程仿真精度可信的简化模型及其网格，但其中各种技术细节仍需深入挖掘与实现, 主要涉及各种几何及仿真计算问题：如基模型选择、循环过程中的待抑制特征集的选择、重网格化、重仿真计算、重误差估计等问题。

4) 自适应简化与网格化的关联。模型简化的最终目的是生成简化网格模型, 此过程不仅涉及简化模型的生成, 还涉及到此过程中的网格自适应生成。如何将两者进行有效地结合形成可行方案, 有待进一步研究。或许可通过整体定义尺度函数, 以整体指导模型的自适应简化及重网格化。

5) 标准测试问题及实际工业应用。目前还缺乏标准测试问题来评价简化误差评估的准确度。需要给出有代表性二维问题、实际三维问题以及各种典型测试情形。特别地, 需要给出在具体物理分析场景下具有明显的重要性的细节特征。因为此特征可能依赖于具体的边值条件, 也可能对应模型的某种仿真奇异点, 破环了模型的仿真的局部属性。

4 结束语

本报告针对面向CAD/CAE领域高精度仿真分析的几何计算关键问题，从六大板块内容概述了其在智能制造与先进制造领域的国内外研究进展与分析，并对未来发展趋势和研究内容进行了展望。希望本报告能使读者对几何计算与数值仿真等交叉研究方向的最新进展有较为全面的了解和认识，并对将来的研究工作开展有所启发。

致谢

本文在撰写过程中，收到了浙江大学冯结青教授、清华大学雍俊海教授、计算机辅助设计与图形学专委会，以及CCF学术工委多位专家的宝贵意见，在此一并表示感谢！

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