In this paper we introduce the signed barcode, a new visual representation of the global structure of the rank invariant of a multi-parameter persistence module or, more generally, of a poset representation. Like its unsigned counterpart in one-parameter persistence, the signed barcode encodes the rank invariant as a $\mathbb{Z}$-linear combination of rank invariants of indicator modules supported on segments in the poset. It can also be enriched to encode the generalized rank invariant as a $\mathbb{Z}$-linear combination of generalized rank invariants in fixed classes of interval modules. In the paper we develop the theory behind these rank invariant decompositions, showing under what conditions they exist and are unique -- so the signed barcode is canonically defined. We also connect them to the line of work on generalized persistence diagrams via M\"obius inversions, deriving explicit formulas to compute a rank decomposition and its associated signed barcode. Finally, we show that, similarly to its unsigned counterpart, the signed barcode has its roots in algebra, coming from a projective resolution of the module in some exact category. To complete the picture, we show some experimental results that illustrate the contribution of the signed barcode in the exploration of multi-parameter persistence modules.


翻译:在本文中, 我们引入了签名的条形码, 新的直观显示多参数持久性模块或更一般地说, 外观代表的表达面。 与一参数持久性中未签名的对应方一样, 签名的条形码将异性排序编码为$\mathbb ⁇ $- 线性组合, 支持外形各部分支持的指标模块的等级差异。 还可以将其通用的异性排序编码为 $\mathb ⁇ $- 线性组合, 在固定的间距模块中, 普通的异性排序组合。 在本文中, 我们开发了这些异性变异性变异定位位置背后的理论, 展示了它们存在和独特的条件。 因此, 签名的条形码是直观定义的。 我们还通过 M\\" obius inversions transversions, 将它们与通用的持久性图图绘制工作线连接起来, 生成了明确的公式, 来计算一个等级分解及其相关的条形组合。 最后, 我们显示, 在未签名的对等的对等中, 条形的条形的条形的条形的条形的条形将以其根源显示我们所签的正标的图的直图中, 演示图的解的解的解的图解的解的解的解的图。

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