We consider discrete linear Chebyshev approximation problems in which the unknown parameters of linear function are fitted by minimizing the maximum absolute deviation of errors. Such problems find application in the solution of overdetermined systems of linear equations that appear in many practical contexts. The least maximum absolute deviation estimator is used in regression analysis in statistics when the distribution of errors has bounded support. To derive a direct solution of the problem, we propose an algebraic approach based on a parameter elimination technique. As a key component of the approach, an elimination lemma is proved to handle the problem by reducing it to a problem with one parameter eliminated, together with a box constraint imposed on this parameter. We demonstrate the application of the lemma to the direct solution of linear regression problems with one and two parameters. We develop a procedure to solve multidimensional approximation (multiple linear regression) problems in a finite number of steps. The procedure follows a method that comprises two phases: backward elimination and forward substitution of parameters. We describe the main components of the procedure and estimate its computational complexity. We implement symbolic computations in MATLAB to obtain exact solutions for two numerical examples.


翻译:我们考虑了离散线性切比舍夫直线性近似问题,在这些问题中,线性功能的未知参数是通过最大限度地减少错误的绝对偏差来安装的。这些问题在解决许多实际情况下出现的线性方程式的超定系统时会发现应用。当错误分布得到相互交错的支持时,在统计的回归分析中使用最小绝对偏差估计值。为了直接解决问题,我们建议采用基于参数消除技术的代数法。作为该方法的一个关键组成部分,消除列姆马证明能够解决问题,办法是将一个参数除去,同时对这个参数施加一个框限制。我们用利姆马来直接解决一个参数的线性回归问题。我们用一个参数和两个参数来证明它的应用。我们开发了一个程序,在一定的多个步骤中解决多层面的近似(多线性回归)问题。这个程序遵循了由两个阶段组成的方法:后向消除和前向替代参数。我们描述了程序的主要组成部分并估计其计算复杂性。我们在MATLAB中进行象征性的计算,以获得两个数字示例的精确解决办法。

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