We consider the termination problem for triangular weakly non-linear loops (twn-loops) over some ring $\mathcal{S}$ like $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, or $\mathbb{R}$. Essentially, the guard of such a loop is an arbitrary quantifier-free Boolean formula over (possibly non-linear) polynomial inequations, and the body is a single assignment of the form $(x_1, \ldots, x_d) \longleftarrow (c_1 \cdot x_1 + p_1, \ldots, c_d \cdot x_d + p_d)$ where each $x_i$ is a variable, $c_i \in \mathcal{S}$, and each $p_i$ is a (possibly non-linear) polynomial over $\mathcal{S}$ and the variables $x_{i+1},\ldots,x_{d}$. We show that the question of termination can be reduced to the existential fragment of the first-order theory of $\mathcal{S}$ and $\mathbb{R}$. For loops over $\mathbb{R}$, our reduction implies decidability of termination. For loops over $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{Q}$, it proves semi-decidability of non-termination. Furthermore, we present a transformation to convert certain non-twn-loops into twn-form. Then the original loop terminates iff the transformed loop terminates over a specific subset of $\mathbb{R}$, which can also be checked via our reduction. Moreover, we formalize a technique to linearize twn-loops in our setting and analyze its complexity. Based on these results, we prove complexity bounds for the termination problem of twn-loops as well as tight bounds for two important classes of loops which can always be transformed into twn-loops. Finally, we show that there is an important class of linear loops where our decision procedure results in an efficient procedure for termination analysis, i.e., where the parameterized complexity of deciding termination is polynomial.


翻译:基本上,我们考虑的是对于一些环上 $\ mathbb+$,$\ mathbb+$, 或$\ mathb{R} 美元的三角非线性环形(twn-loops) 的终止问题。 基本上, 这种环形的守护是一个任意的量化无线的无布利安公式, 可能是非线性的多元方程( twn- loops) 。 身体是一个单一的 美元( tw_ 1, x_ lidctors, x_ clodbs+ p_ 1, c_ drodbb_ dal_ p_d) 的终止问题 。 对于我们来说, 美元( 可能非线性) 多元方程 {xxxxxxxx 的解变现, 美元变现的变现为 美元。

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