为什么勒贝格积分比黎曼积分强？

2018 年 3 月 10 日 算法与数学之美

学过实变函数的朋友，总会知道有个叫勒贝格积分的东西，号称是黎曼积分的改进版。虽然“实变函数学十遍，泛函分析心泛寒”，在学习实变函数的时候，我们通常都是云里雾里的，不过到最后，在老师的“灌溉”之下，也就耳濡目染了知道了一些结论，比如“黎曼可积的函数（在有限区间），也是勒贝格可积的”，说白了，就是“勒贝格积分比黎曼积分强”。那么，问题来了，究竟强在哪儿？为什么会强？

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这个问题，笔者在学习实变函数的时候并没有弄懂，后来也一直搁着，直到最近认真看了《重温微积分》之后，才有了些感觉。顺便说，齐民友老师的《重温微积分》真的很赞，值得一看。

本是同根生，相煎何太急？

学过实变函数的读者都知道，作为两个描述积分的不同理论，勒贝格积分跟黎曼积分最明显的一个区别是：黎曼积分是对定义域进行划分的，勒贝格积分是对值域进行划分的。咋看上去，好像勒贝格要跟黎曼对着干那样——你说要划分定义域，我偏不，我爱划分值域。

那么，事实是怎样呢？难道真的只是“相煎何太急”？并非如此，对值域进行划分确实有助于改进黎曼积分的不足。为什么会通过划分值域能够比划分定义域要强？流行的说法是这样的：黎曼积分划分定义域，然而对于振荡很厉害的函数，哪怕划分得很细，在很细的区间内振荡依然很厉害（典型的例子是狄利克雷函数），这时候黎曼积分是无法定义的，也就是说，黎曼积分适用于局部平缓的函数；而勒贝格积分是通过划分值域的，这样在值域的一个小区间内，就不会有大振荡，因为都把值域限死了，直接不给它振荡的机会了，因此就可以对一些振荡很厉害的函数进行积分。

别人笑我太疯癫，我笑他人看不穿

勒贝格发言了：“你们说的有些靠谱了，但还没有说到我的本意。先声明，我可不是要跟黎曼大神对着干的...”。（纯粹个人杜撰～^_^）

事实上，黎曼积分的缺点，可以追溯到两千年前古希腊的“穷竭法”，比如求圆的面积，它们是通过圆外切正nn边形和内接正nn边形，来得到圆面积的上下界，然后取极限发现上下界都相等，因此圆面积就是那样了。也就是说，要求一个不规则图形的面积，就把它进行分割，每一块近似为是我们熟悉的图形（长方形、三角形），然后得出近似面积，最后取分割的极限。整个过程是：有限分割——近似求和——取极限。

问题就出在“有限分割”上！为了得到图形的面积的上界，我们需要用有限个简单图形覆盖它，而为了得到下界，我们则需要有限个被该图形覆盖的简单图形。总而言之，都是“有限”。这个有限，对于连续区间是靠谱的，但对于一般的点集却不可行。比如说，[0,1][0,1]间的有理数集，读者可以想象一下数轴上[0,1][0,1]区间的全体有理数点的集合，并考虑它的长度。学过集合论的读者都知道，[0,1][0,1]区间的实数的势是不可数的，而有理数则是可数的，也就是实数比有理数多得多。因此如果我们认为[0,1][0,1]区间的全体实数点构成的集合的长度是1，那么很自然，[0,1][0,1]区间的全体有理数点的集合长度应该是0。然而，黎曼积分所采用的有限分割得不到这个结论。

如果要用有限个区间来覆盖[0,1][0,1]区间的全体有理数（覆盖来得到上界），因为有理数是稠密的，因此可以想像，这有限个区间的总长度不会小于1，也就是说，[0,1][0,1]区间的全体有理数的总长度上界不会于1；然而，又因为任意区间都有无理数，因此，有理数无法覆盖任意一个（长度任意小的）区间，从这个角度来看，有理数的总长度下界不会大于0。这说明结果是不收敛的！这就是有限分割带来的问题了。

于是，勒贝格很聪明，他从一开始就抛弃了有限分割，一上来就采用可数分割来定义测度。当然，这里不打算说书本上的严格语言，只是说出大概的意思：以一维为例，一个实数集的子集，如果它能被可数个区间覆盖，那么这些区间的总长度就是它的测度上界，如果它能覆盖可数个区间，那么这些区间的总长度就是它的测度下界，如果上界和下界的极限都相等，那么这就是一个可测集。

大智若愚，大巧若拙

其实，有了可数分割之后，我们就可以尝试对黎曼积分进行改进了。因为有了可数分割，我们就可以把一个函数分成若干部分来处理的，比如分成正常的点、不正常的点，而不正常的部分又可以细分为第一类不正常、第二类不正常，等等，逐一处理，而可数分割就是它们的基础。比如我们要挑出所有有理数点来，并且要保持区间总长度任意小，就必须要通过可数个区间，有限个区间是做不到的。

问题又来了，怎么区分点是正常还是不正常的呢？对于黎曼积分来说，不正常的点就是振荡很厉害的点。换言之，要考虑值域！这时候勒贝格的另外一个聪明点体现出来了：不逐一区分黎曼积分中的不正常点了，直接划分值域就好。

咋看之下，划分值域是一种很不直观、很笨拙的方法，因为它把定义域的区间变得复杂了，事实上这正是“大智若愚”的一招，因为前面已经定义了可数分割了，再复杂的定义域都可以应对。于是，结合着“可数分割”和“值域划分”，一个叫勒贝格积分的理论就成形了，剩下的就是理论细节了。顺便说，因为用了可数分割，勒贝格积分天生具有可数可加性，而相应的，黎曼积分只具有有限可加性。

从这部分的讨论可以看出，勒贝格测度以及勒贝格积分，可以应付那些可数个不正常点（间断点）的情形，因此很显然，如果当不正常点的数目为不可数时，勒贝格测度、勒贝格积分都失效了。所以，要构造一个勒贝格不可测的例子，就得把不正常点的数目增加到不可数，勒贝格不可测的“维塔利集合”就是这样构造出来的，它从实数不可数、有理数可数出发，以有理数为基准，把[0,1][0,1]的实数分为可数份，每一份都是不可数的，但问题是每一份的测度是多少？如果是0，可数个正数加起来怎么会是1？如果不是0，那么可数个正数加起来更不可能是1了。因此不管怎样，都不满足可数可加性。

刚不可久，柔不可守，物极必反

由此看来，勒贝格积分确实要比黎曼积分强了，因为勒贝格积分本来就是针对黎曼积分的“死穴”而设计的。

生活中我们往往遇到一些例子，如果目的性太强，往往弄巧成拙。勒贝格积分如此针锋相对地“克制”黎曼积分，会不会反而存在一些黎曼积分所没有的缺点呢？

首先，很明显的一点是，勒贝格积分的线性性质变得不明显了，勒贝格积分中花了很大篇幅才证明了

∫baf(x)dx+∫bag(x)dx=∫ba[f(x)+g(x)]dx∫abf(x)dx+∫abg(x)dx=∫ab[f(x)+g(x)]dx

而这在黎曼积分中几乎是显然成立的。这也许就是刚开始学微积分时都用黎曼积分定义的原因之一了，因为直观嘛。

此外，还有一些无法克服的缺点。有了狄利克雷函数的启发，我们就很容易构造一些黎曼不可积而勒贝格可积的例子。有没有反过来的？答案是有！

我们从前面提到过的勒贝格积分的“可数分割”中就可以发现问题了，勒贝格积分一上来就允许可数个区间去逼近，然后去计算函数在这可数个区间的和。因为直接可数划分然后求和，没有先后顺序，因此这个求和过程是不考虑顺序的。我们知道，可以不考虑求和顺序的级数，就是我们说的绝对收敛级数。这样子我们能感觉到了，勒贝格积分一定是（在黎曼积分意义下）绝对收敛的。

然而，很多实用的积分并不是绝对收敛的，比如积分

∫+∞−∞sinxxdx∫−∞+∞sin⁡xxdx

就只是条件收敛而非绝对收敛的，因此对于勒贝格积分来说，它是不可积的！而对于黎曼积分来说，将它理解为

limN→∞∫+N−NsinxxdxlimN→∞∫−N+Nsin⁡xxdx

则可以得到有意义的结果。这就有点啼笑皆非的感觉了，“可数分割”本来是为了改进黎曼积分的弱点而引入了，但到了这里，却变成了自己的弱点。看来，“物极必反”，并没有什么万全之策了。再请看下面的例子。

别返璞归真，不忘初衷

我们来谈谈概率论，考虑下面的问题：

如果从自然数中随机选一个数，那么选到1的概率是多少？

显然是0？按照我们的感觉是0，但如果按照现代的公理化定义，这个概率不存在！！不能定义这个概率！！

我们来看概率的公理化定义：

对于每一个事件A，若函数P(A)满足下列条件，则P(A)为A的概率：

1、非负性，即P(A)非负；
2、规范性，即必然事件S的P(S)=1；
3、可数可加性，即互不相容事件的并集的概率为各事件概率之和。

前两点不重要，关键是第三点，可数可加性！如果我们认为选到1的概率是0，那么选到2的概率也是0，选到任意给定自然数的概率都是0，而可数个0加起来还是0，因此在自然数中选到一个自然数的概率是0而不是1！也就是说不满足可数可加性。

这样看来，原来不能在可数集谈概率，于是数论分支之一“概率数论”的那些数学家纯粹在胡扯了...真的是这样吗？

概率的公理化定义、尤其是可数可加性怎么来的呢？大家可以拿它来对比一下勒贝格测度的公理化定义，可以发现除了用词不同外，几乎是一模一样的，可数可加性也是测度的要求！事实上，这样定义的概率就是某种勒贝格测度而已，或者说，概率的定义基本上是照搬了测度的定义。而上面的例子表明，可数可加性还真是个让人又爱又恨的东西。

然而我们还是觉得有必要在自然数集中讨论概率，那该怎么办呢？概率数论是这样说的，我们先在不超过NN的自然数范围内讨论，然后在让NN趋于正无穷。好吧，这不就回归到黎曼积分的有限分割然后才取极限那一套了吗...

看来，要“打倒黎曼”，还真做不到...

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