如何学习数学

2018 年 1 月 3 日 算法与数据结构 王小龙

作者：王小龙

链接：https://www.zhihu.com/question/19556658/answer/26950430

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我想大家都有这样的体会：小学的时候你根本不知道初中数学是什么样，高中的时候你也根本想不到大学数学是什么样。而大学生，如果你不专注于数学，恐怕也不知道现代数学是什么模样。下面将分别从学数学的动机、数学不同学科的分类以及如何切实可行培养数学能力等几个方面阐述如何学习数学。

进入正题:

一、认清你的需要

为什么需要学习数学，这是你首先需要想清楚的问题。数学学科子分类多、每一本数学书中都有许多定理和结论，需要花大量时间研究。而人的时间是宝贵的、有限的，需不需要学数学，学数学到什么程度你需要大体有一个目标和计划，合理安排时间。

1.1 你的目标是精通数学、钻研数学，以数学谋生，你可能立志掌握代数几何，或者想精通前沿物理。那么你需要打下坚实的现代代数、几何以及分析基础，你需要准备大量时间和精力，拥有坚定不移的决心。（要求：精通全部三级高等数学）

1.2 你的目标是能够熟练运用高等数学，解决问题，掌握探索新应用领域的武器，你可能立志进入计算机视觉领域、经济学领域或数据挖掘领域。那么，你需要打下坚实的矩阵论、微积分以及概率统计基础。（要求：精通第一级高等数学）

1.3 你的目标是想了解数学的乐趣，把学数学作为人生一大业余爱好。那么，你需要打下坚实的线性代数、数学分析、拓扑学以及概率统计基础，对你来说，体会学数学的乐趣是一个更重要的目标。（精通第一级高等数学，在第二级高等数学中畅游，尝试接触第三级高等数学）

二、给自己足够的动力

学数学需要智力，更需要时间和精力。下面的几个事实相大家都深有体会：

1. 凡是没有用的东西，或者虽然有用，但是你用不到的东西，学得快忘得也快。不信你回忆一下你大一或者初一的基础课，你还记的清楚吗？

2. 凡是你不感兴趣（或者感觉不到乐趣）的东西，你很难坚持完成它。很多人都有这样的经历，一本书，前三章看的很仔细，后面就囫囵吞枣，越看越快，反正既没意思也没用。

3. 小学数学是中学数学的基础，中学数学是高中数学的基础，高中数学是大学数学的基础（你可以以此类推）。因此，无论你的目标是什么，搞数学、用数学、还是体会数学的乐趣、满足自己从少年时就有的梦想。学有所乐、学有所用，永远是维持你动力不衰退的两个最主要的因素。

三、如何学习现代数学

首先我们要知道什么是数学，要对数学下个定义是很难的。本文的处理途径是，不去回答它，我不打算给出数学的定义而是通过描述它的许多最重要的概念，定理，和应用使对于什么是数学有一个好的看法，而要使这些有意义对数学进行分类是很有必要的

1现代数学可以大致被分为两个领域：纯粹数学（研究数学本身）和应用数学（用以解决更实际的问题）。但我们要记住的是，它们之间其实有着紧密的关联。如果能的话，应该画张图更好一点，地图更应该是一张网络，连接着每个相关的分支。

事实上，从历史中我们会发现，有许多数学家一开始只是出于好奇以及对美的追求去研究数学，然后发展了一系列美丽而又有趣的数学分支，但对于真实世界却一点用处都没有。令人惊喜的是，比如在100年后，当有些科学家正在试图解决物理学或计算机科学最前沿的问题时发现，他们所需要的数学其实早就在纯粹数学里被发展出来了。这样的例子不胜枚举，比如广义相对论的发展依赖于黎曼度规；弦理论则需要卡-丘空间等等。这些抽象的概念最终被应用在其它的科学领域中是非常令人欣喜的一件事。先抛开纯粹数学是否有一天能被应用在现实中去，其实研究纯粹数学本身也是非常有价值的事。如果你问一位数学家为什么要研究纯粹数学，我想很多人的答案会简洁到只有一个字，那就是：美！

2.纯粹数学

纯粹数学主要包括四个部分：数字系统、结构、空间和变化。

2.1【数字系统】

数字系统的研究起源于数，一开始为熟悉的自然数（1、2、3...）及整数（…-2、-1、0、1、2...）与被描述在算术内的自然数及整数的算术运算（＋－× ÷ ）。当数系进一步发展时，整数被视为有理数（-7、1/2、2.32...）的子集，而有理数则包含于实数（-4π、e、√2...）中。实数则可以进一步被广义化为复数（4+3i、-4i...）。除此外，还有其它一系列的数（比如四元数、八元数和基数等）。还有一些数深受数学家的喜爱，比如π、e和质数（1，3，11...）。

刚才提到的这些数字都有一些有意思的性质，例如，尽管实数和整数都有无限多，但实数要比整数多。所以有一些无限实际要比另一些大。

2.2【结构】

对结构的研究起始于将数字以变量的形式代入方程（y=mx+c）。如何解这些方程的规则包含在代数之中。在这个分支中，还有矢量和矩阵，它们都是多维数，而它们之间的联系于线性代数中被研究。

在这个分支内，有一个被誉为“最纯”的数学领域，那就是数论。数论专注于研究在“数字系统”中提到的所有数的特征，比如质数的性质（质数产生了很多非专业人士也能理解而又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想，孪生质数猜想等）。

另一方面，组合数学是一门研究可数或离散对象的数学分支，比如树、图论等，一些著名的问题包括地图着色问题、船夫过河问题等等。群论则是研究名为群的代数结构，一个熟悉的例子就是魔方，是一个置换群。序理论是研究捕获数学排序的直觉概念的各种二元关系的数学分支，比如哈斯图，是用来表示有限偏序集的一种数学图标。

2.3【空间】

纯粹数学的另一个部分是研究形状和它们在空间中的行为。空间的研究源自于几何——尤其是欧几里得几何。三角学则结合了空间及数，且包含有著名的勾股定理。还有一些比较有趣的领域，比如分形，它是一种具有尺度不变性的数学模式，意思是说你无论你怎么放大它们看起来都是一样的。

在其许多分支中，拓扑学可能是20世纪数学中有着最大进展的领域。拓扑学研究的是空间的不同性质，你可以连续不断地将它们变形，但不能将它们撕裂或粘合。例如，无论你对莫比乌斯带做什么，它永远只有一个面和一个边界。在拓扑学里，咖啡杯和甜甜圈是一样的东西。拓扑学包含了存在已久的庞加莱猜想（2006年由数学家格里戈里·佩雷尔曼证明）以及颇有争议的四色定理（1976年由计算机证明）。

测度论是一种给空间或集分配数值的数学分支，它将数和空间联系起来。最后，微分几何是非常重要的一个数学分支，它研究在弯曲表面上的形状的性质，比如三角形在弯曲的表面中内角和跟在欧式空间中的不一样。

2.4【变化】

了解及描述变化在自然科学里是一个普遍的议题，而微积分更加使研究变化的有力工具。函数诞生于此，作为描述一变化的量的核心概念。微积分是研究极限、微分学（函数的梯度的行为）、积分学（函数下的面积）和无穷级数的一个分支。而向量分析关注的则是向量场的微分和积分。除此外，还有一系列其它的研究方向。动力系统描述的是系统如何随着时间流逝从一个状态演化到另一个状态，比如流体流动或任何有反馈环路的东西（如生态系统）。混沌理论则是对系统的既不可预测而又是决定的行为作明确的描述，它对于初始条件非常敏感，比如著名的蝴蝶效应。最后是复分析，对于实数及实变函数的严格研究为实分析，而复分析则为复数的等价领域。数学中最大的未解问题之一——黎曼猜想便是以复分析来描述的。

以上这些便是纯粹数学的各个分支。接下来我们进入应用数学的领域。应用数学的主旨在于将抽象的数学工具运用在解答科学、工程、商业及其他领域上的现实问题。

3.应用数学

数学被广泛地应用在各个科学领域。

3.1我们从物理学开始。基本上在纯粹数学提到的所有分支都多多少少的被应用于物理学上。数学和理论物理跟纯粹数学的关系是密不可分的。许多数学理论是在物理问题的基础上发展起来的；也有很多数学方法和工具通常只在物理学中找到实际应用。例如，微分方程被应用在经典力学和量子力学；场论被应用在电磁场、引力场和规范场；群论和表示论别应用在粒子物理学中。

3.2除了物理外，数学也被应用在其它的自然科学上，特别是在数学化学和生物数学上。在数学化学中，数学模型通常被用以模拟分子；拓扑化学也是一个热门的研究领域（2016年的诺贝尔化学奖就跟拓扑有关）。数学也大量应用在生物学中，如由于基因学的发展，生物学家采集到的大量数据必须通过解析方法加以处理；演化生物学和生态学都大量使用数学理论等等。

3.3数学也被大量应用在工程学上，自古埃及和巴比伦时期，数学就被大量应用在建筑上。非常复杂的电路系统，比如在飞机或电网中，就利用了动力系统的方法，叫控制理论。

（这里推荐一本Mary Boas写的教材《Mathematical Methods in the Physical Sciences》，对于那些本科选择物理、化学和工程专业的学生，这本书可以快速的帮你们掌握所需要的数学知识。）

3.4当一些数学太过于复杂我们无法有效地解决时，我们就会用到数值分析，它也包含了对计算中舍入误差或其它来源的误差之研究。例如，如果你把一个圆圈放进一个正方形中，并向它扔许多的飞镖，接着比较飞镖在圆圈和正方形的数量，你就可以得到 π 的近似值。但在现实中，数值分析通常会使用大型计算机来实现。

3.5博弈论专注于思考游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。主要研究公式化了的激励结构（游戏）间的相互作用。其中一个代表性的应用例子是囚徒困境。博弈论在经济学、心理学、生物学、国际关系、政治学等其它学科都有广泛的应用。

3.6概率论是集中研究概率及随机现象的数学分支，最简单的随机事件为扔硬币、抽扑克或掷骰子。应用数学中的一个重要领域为统计学，它利用概率论为其工具并允许对含有机会成分的现象进行描述、分析与预测。大部分的实验、调查及观察研究都依赖于统计分析。因此被广泛地应用在各门学科，从自然科学、社会科学到人文学科。特别是在金融行业，通过统计分析以获取最大的利益。

3.7跟最大化利益相关的是最优化，你试图计算的是在一系列不同选择或限制下的最佳选择，也就是找到一个函数的最高或最低点。最优化问题是人类的第二天性，我们一直在都在进行最优化选择，比如试图最优化我们的快乐程度，购买的时候想要物有所值等等。

3.8另一个领域跟纯数学有非常深的联系，那就是计算机科学。计算机科学的规则事实上是从纯数学中推导出来的。机器学习是实现人工智能的一个途径，即以机器学习为手段解决人工智能中的问题。机器学习是一门多领域的交叉学科，利用了数学的许多领域，比如线性代数、最优化、动力系统和概率论等等。

3.9最后，密码术也是非常重要且实用的一个数学分支，应用到了纯粹数学研究，比如组合数学和数论等。

现在我们已经概括了纯粹数学和应用数学的主要部分。但是，还没有结束，我们不能够忽略数学的基础。

4.基础

数学的基础试图理解数学本身的性质，并且追问所有数学规则的基础是什么。是否存在着一套称为公理的完整的基本规则？我们要如何证明它是否自洽？数理逻辑、集合论和范畴论就试图回答这个问题。在数理逻辑中有一个非常著名的成果叫做哥德尔不完备定理，对大多数人来说，数学并没有一套完整和自洽的公理，意味着它们都是由我们人类创造的。这听起来很奇怪，因为数学如此完美的解释了宇宙中的许多事物。为什么我们会认为由人类创造的东西可以做到如此地步？这是一个非常深奥的谜题。我们还有计算理论，它专注于研究不同的计算模型，基于这些模型如何能够有效地解决问题。它包含了复杂性理论，其中P/NP问题是该领域中至今没有解决的问题。数学是一个非常抽象和美妙的世界，如果要用一句话形容它的重要性，那么我会选择伽利略曾经说过的：“如果一个人不懂得宇宙的语言，即数学的语言，他就不能够阅读宇宙这本伟大的书。”

四、如何学习

4.1 适量做题

千万千万千万不要狂做题。比如说你先花5年做完吉米诺维奇六本数学分析习题集，那么到时候你就30岁了，后面的二级课程还没开始学呢。因此，做一些课后习题，帮助你复习、思考、维持大脑运转就行，要不断地向后学。如果完全学不懂了，返回来做习题帮自己理清头绪。

4.2 了解思想

数学的精髓不是做题的数量，而是掌握思想。每一个数学分支都有自己的主线思想和方法论，不同分支也有相互可供对比和借鉴的思维方式。留意它，模仿它，琐碎的知识就串成了一条项链，你也就掌握了一门课。思想并不是读一本教材就能轻易了解的，你要读好几本书，了解一些应用才能体会。举两个例子：

微积分的主线有这么几条：认识到微观和宏观是有联系的，微分用来刻画事物如何变化，它把细节放大给你看，而积分用来刻画事物的整体性质；微分和积分有时是描述一个现象的不同方式，这一点你在数学分析书中可能不容易发现，但是如果学点物理，就会发现麦克斯韦方程组同时有等价的微分形式和积分形式；积分变换能够建立不同空间之间的的联系，建立空间和空间边界的联系，这就是Stokes定理，这个公式最迟要在微分流形中你才能一窥全貌。

矩阵是空间中线性变换的抽象，线性代数这门课的全部意义在于研究如何表达、化简、分类空间线性变换算子；SVD分解不仅在应用学科用有极为广泛的亮相，也是你理解矩阵的有力工具；矩阵是有限维空间上的线性算子，对"空间"的理解不仅能让你重新认识矩阵，更为泛函分析的学习开了个好头。

4.3 渐进式迂回式学习，对比学习

很多时候，只读一本书，可能由于作者在某处思维跳跃了一下，以后你就再也跟不上了。学习数学的一个诀窍，就是你同时拿到好几本国际知名教材，相互对比着看，或者看完一本然后再看同一主题的另一本书，已经熟悉的内容跳过去，如果看不懂了，停下来思考或者做做习题，还是不懂则往后退一退，从能看懂的部分向前推进，当你看的多了，就会发现一个东西出现在很多地方，对它的理解就加深了。举两个例子：

a.外微分这个东西，国内有的数学分析书里可能不介绍，我第一次遇到是在彭家贵的《微分几何》里，觉得这是个方便巧妙的工具；后来读卓里奇的《数学分析》和Rudin的《数学分析原理》，都讲了这个东西，可见在西方外微分是一个基础知识。你要读懂它，可能要首先理解矩阵，明白行列式恰好是空间体积在矩阵的变换下拉伸的倍数，它是一种线性形式。最后，当你读微分流形后，将发现外微分是获得流形上的Stokes定理的工具。

b.点集拓扑学这个东西，搞应用用不到。但是但凡你想往深处学，这一门学科就必须要掌握，因为它提供对诸如开集、紧集、连续、完备等数学基本概念的精准刻画。往后学泛函分析、微分流形，没有这些概念你将寸步难行。首先你要读芒克里斯的旷世名著《拓扑学》，接着在读其他外国人写的书时，或多或少都会接触一些相关概念，你的理解就加深了，比如读Rudin的《泛函分析》，开始就是介绍线性拓扑空间，前面的知识你就能用上了。

4.4 建立不同学科的联系

看到一个东西在很多地方用，你对它的理解就加深了，慢慢也就能体会到这个东西的精妙，最后你会发现所有的基础学科相互交织，又在后续应用中相互帮助，切实体会到它们真的很基础，很有用。这是一种体会数学乐趣的途径。

4.5 关注应用学科(上文介绍过一些)

没有什么比应用更能激发你对新知识、新工具的渴望。找一些感兴趣的应用学科教材，读一读，开阔眼界，为自己的未来积累资源。以下结合自己的专业（计算机视觉）和爱好说说一些优秀的专业书籍：

学了微积分，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》，了解力、热、光、时空的奥秘；学了偏微分方程，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第二卷》，了解电的奥秘；学了矩阵论，可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》，了解成像的奥秘，编程进行图像序列的三维重建；学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派，这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域，成就了两本经典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《TheElements of Statistical Learning》，读了它们，我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服；读了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己写了一个光线追踪器渲染真实场景，它的基础就是一点点微积分和矩阵......

高等数学的应用实在是太多了，如果你喜欢编程，自动化、机器人、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学......到处都有大量模型供你玩耍，而且只需要一点点高等数学。在这些领域，你可能能发现比数学书更有趣，也更容易找到工作的目标。

4.6 找有趣的书看

数学家写的书有时是比较死板的，但是总有一些教材，它们的作者有强烈的欲望想向你展示"这个东西其实很有趣"，"这个东西完全不是你想的那个样子"等等，他们成功了；还有些作者，他们喜欢把一个东西在不同领域的应用，和不同东西在某一领域的应用集中展示给你看。这样的书会提供给你充足的乐趣读下去。典型代表就是国内出版的一套《图灵数学统计学丛书》，这一套书实在是太棒了，比如《线性代数应该这样学》《复分析：可视化方法》《微分方程、动力系统与混沌导论》，个人认为都是学数学必读的经典教材，非常非常有趣。

五、多读书，读好书

如果只有一句话概括如何培养数学能力，那么就是这一句：多读书，读好书。因此这一步我想单独拿出来多说两句。

想必大家都十分精通并能熟练应用小学数学。想读懂代数几何，或者退一步，想读懂信息论基础，你就要挑几本好的基础教材，最好是外国人写的，像掌握小学数学那样掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的书，对比着看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，记下来，说不定在另一本书的某个地方就从另一个角度说到了这个东西。

如果你以后还要往后学，现在看到的每一个基础定理，以后还会用到。每一本基础书，你今天放弃，明天还要乖乖重头再来。要像读经文一样，交叉阅读对比不同教材内容的异同。

5.1. 推荐教材（其实就是我读过的觉得好的书）：

第一级：

《线性代数应该这样学》

卓里奇《数学分析（两册）》（读英文版吧，不难。有知友说这个还是不太简单，那你可以先看个国内教材，然后回过头来再看这个）

复旦大学《概率论》

第二级：

芒克里斯《拓扑学》

图灵丛书的一些分册