费米问题 | 如何快速评估一个价值范围？

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将复杂问题简单化，将困难目标拆解为一个个可执行的小目标，多方位思考分析的能力。这类问题既需要你有广泛的知识面，以及不错的逻辑思维，又需要你有一定的创新能力。

费米问题恰恰可以间接反映出一个人的综合素质，这也就是我为什么认为这是一个一生受用的商业技能。

——这种技能又被咨询公司称为：Guesstimation Ability。

作者：德川家康

微信公众号：德川家康学艺录

题图来自 Pexels，基于 CC0 协议

全文共 4904 字，阅读需要 10 分钟

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在与咨询公司一起做项目之前，也偶尔听过一些“奇葩”的面试题，比如：

• 上海有多少个理发总监叫Tony？

• 中国人一年要吃多少瓶老干妈？

• 北京的早点摊一天能卖多少个鸡蛋灌饼？

当时不明白这是要考察什么，只觉得这可能是脑筋急转弯之类的。直到与咨询公司合作后，才明白，这真的不是脑筋急转弯。

事实上，咨询公司管这个叫market sizing question，即你只有一张纸、一支笔，你要根据自己的常识，有逻辑地计算出市场规模，这也几乎是咨询公司/产品经理/分析师岗位基础面试的必考题。

一、这类问题到底在考察什么？

要想理解这类问题在考察什么，需要追根溯源，回到这类问题的鼻祖：费米问题。

1945年7月16日上午，世界上第一颗原子弹在美国新墨西哥州沙漠地区爆炸。

意大利裔美国物理学家恩里克·费米把笔记本里的一页撕碎了，一感到震波，他即把举过头顶抓着小纸片的手松开。碎纸飘扬而下，在费米身后2.5米处落地，心算之后费米宣布，原子弹能量相当于10000吨TNT当量。一些尖端的仪器设备花了数星期时间来分析波速、波压，结果证明费米的瞬时估算是准确的。

费米喜欢通过非常直接的，而不是缜密理性的途径去解决问题，他善于把难题转化为容易处理的简单问题，这是一种人人都可应用到实际生活中去的才能。

费米不仅自己估算，为了更好地让学生开拓思维，发生智力，他还喜欢出题给学生算，问题稀奇古怪，比如：芝加哥有多少钢琴调音师？地球的周长是多少？

这就是著名的“费米问题（Fermi Question）”

费米问题的特点为初次听到这种问题的提问时，会觉得已知条件太少，离答案差距甚远。

但当变通改变分析对象之后，所有这类问题都会迎刃而解，不需要求助专家书本，就可以出乎意料地接近确切的答案。

发现没？这实际上是一个将复杂问题简单化，将困难目标拆解为一个个可执行的小目标，多方位思考分析的能力。

这类问题既需要你有广泛的知识面，以及不错的逻辑思维，又需要你有一定的创新能力。

费米问题恰恰可以间接反映出一个人的综合素质，这也就是我为什么认为这是一个一生受用的商业技能。

这种技能又被咨询公司称为：Guesstimation Ability。

同样地，在日常工作中，估算同样发挥着它的作用——

大到资本市场对青睐的公司或行业的潜力预测，小到某场运营活动的前期市场调研，学会估算能让我们在做决定时不至于完全摸不着头脑。

在与顾问公司合作的几个月里，我们经常会就一些问题进行估算。刚开始，我常常沉溺于一些细节，而这些细节实际上只会对结果有5%的影响。

事实上，这部分工作的目的是要快速评估一个价值范围。至于细节优化，完全可以等筛选出一些高价值的项目之后再进行，无需一开始就追求完美。

那么，我们应当如何去做这类题目呢？

二、解题思路

我将以最近David同学提出的一个估算问题来讲解下这类问题的解题思路。2018年中国消费了多少升啤酒？（只有笔和纸，不能查资料）

1. 分清供需侧

分清楚这个数据是供应端是瓶颈，还是需求端是瓶颈。

这两者的不同将有着不同的解题思路：

• 如果是供应端问题，更多的从啤酒原料或者工厂产能去估算消费量。

• 而如果是需求端，通常就和人口之类的挂钩了。

那么，很明显，中国啤酒的消费量属于“需求端是瓶颈。”

2. 列出相关常识

列出你的一些常识，从而启发解题方向。

通常来讲，每个人的解题思路会因为自己常识的不同而不同。估算能力本质就是将一个复杂的问题，一步步拆成贴近自己常识范围内的题目去解。

我列出了对啤酒的一些了解：

• 体积：一瓶普通的啤酒大约450ml，一罐啤酒在300ml这样。

• 季节：啤酒冰着更好喝，所以冬天的消费量会比较少，夏季则会是旺季。

• 人口：中国有约14亿人口，8亿在乡村。

• 购买场所：在超市，便利店，饭店，网上，酒吧，KTV等地方可以买到啤酒。

• 消费场所：主要集中在KTV，酒吧，小餐馆，个人家中等地方。

3. 构建计算逻辑树

咨询公司又叫它issue tree。

我思考了几种思路：

• 首先是按照购买场所，那么首先我得计算各种购买场所的数量，但是目前网购也是很普遍的事情了，这样就非常难以估计了。因此，这个方法比较难。

• 其次是按照消费场所，也是得计算主要消费场所的数量，再按照场所估算下场所每天的人次，再根据自己的了解估算下人均消耗量。这基本是可以行得通的。这里面的要素和我一些常识理解契合度较高。

• 最后，我还想了按照消费人群，但是估算消费场所里的人均消耗量比估算消费人群的人均消耗量其实更简单。按消费人群去估算拍数的成分太大。

在建立issue tree之前，要讲一个重要的原则，咨询公司叫MECE（读me see），全称是“Mutually Exclusive Collectively Exhaustive”，翻译成中文就是“相互独立，完全穷尽”。我们习惯简称为“不重不漏”。

在按照 MECE 原则将某个整体（不论是客观存在的还是概念性的整体）划分为不同的部分时，必须保证划分后的各部分符合以下要求：

• 各部分之间相互独立 (Mutually Exclusive) ——“相互独立”意味着问题的细分是在同一维度上并有明确区分、不可重迭的；

• 所有部分完全穷尽 (Collectively Exhaustive）—— “完全穷尽” 则意味着全面、周密。

因此，我所列的计算逻辑的要素必须是符合MECE原则。现在开始一步步列出计算逻辑树，黑色背景代表已经可以在常识范围内进行估算了，深蓝色背景代表则反之。

由于我主要在夏季喝啤酒，因此，我以夏季的日消耗量来进行估算，这也符合我的常识。

前面提到，冬季是啤酒淡季，夏季是旺季，因此公式变为：

由于直接估算消耗的体积比较不直观，我们转而估算瓶数，最后再转回体积，公式变为：

现在来拆解啤酒夏季日消耗量，我能想到的主要消费场所是：KTV、酒吧、小餐馆和个人家中。这些场所也是互相独立的，为了不漏，必须加上个“其他场所”。

因此有以下等式：

而某场所夏季的日消耗瓶数还需要继续拆解，以KTV场所为例：

平均每天消费人次和人均消费瓶数可以直接根据经验预估，而某场所数量还需要继续拆解：

目标消费人群数量已经到可以直接估算的范围。而单位覆盖人数还是不确定。单位覆盖人数，我采用了不同的估算方式。

在深圳虽然生活多年，但是对各种场所的数量完全没有概念。所以我决定按照老家县城的情况进行估算。

酒吧单间场所覆盖人数的估算方法和KTV一样。小餐馆较多，无法使用相同的办法。这时候可以取用深圳家中小区人口数和附近饭店的数量去进行估算。

而家庭单间场所覆盖人数则直接设定为3人，三口之家。

根据MECE原则，还有一个其它场所需要预估。其他消费场所的消耗瓶数，则为以上四种消费场所总消耗瓶数的某个百分比即可。

至此，整个计算逻辑树如下，树根已经为黑色背景可估算了。

4. 快速计算结果

1）计算“单间场所覆盖人数”

老家县城城区人口约20万人，KTV印象中在5~15家左右，酒吧1~3家，取个均值，算下来：

KTV单位覆盖人数=20W人/10家KTV=2W人

酒吧单位覆盖人数=20W人/2家酒吧=10W人

深圳家中小区加上园区办公楼估算有5000人左右，附近饭店在约有10家。因此，小餐馆单位覆盖人数=5000人/10家餐馆=500人。家庭单位覆盖人数直接取3人，三口之家。

2）计算“目标消费人群数量”

KTV、酒吧、小餐馆，我理解农村是比较少的，忽略不计。

前面讲到我的常识中，农民是8亿人口，那么这三种场所的目标消费人群为6亿（14亿-8亿），家庭则为完整的14亿。

计算“单间场所日消耗瓶数”，即“平均每天消费人次” X “人均消费瓶数”。

以下数据均为估算：

单间KTV日消耗瓶数=30*100%*3=90瓶/天，每天来客30人次，每人都会消费且平均3瓶。

单间酒吧日消耗瓶数=30*100%*3=90瓶/天，每天来客30人次，每人都会消费且平均3瓶。

单间餐馆日消耗瓶数=400*50%*1=200瓶/天，每天来客400人次，50%的人会消费且平均1瓶。

单间KTV日消耗瓶数=3*5%*1=0.15瓶/天，每天家中3人，5%的人会消费且平均1瓶。

3）两个快速计算的技巧

至此，计算都比较简单。那么后面的计算过程如果按照传统的计算，将会非常耗时且容易出错，在面试过程中这么操作是不现实的，为了应对这种情况，《Case Interview Secrets 》给出了两个技巧：

• 在开始计算之前简化算法。比如 N*15可以拆成 N*10+N*10*0.5，这样计算起来就相当简单了。

• 有技巧地取整数。这里的整数是指整十整百这种。比如16，你可以约等于15来计算。但这里要注意的是，如果你这次向上取整，那么下次就要向下取整，反之亦然。以保证结果不会偏差太大。调高了用箭头↑，调低了用箭头↓。

下面我们将应用这两个技巧进行笔算：

计算“场所数量”，即“目标消费人群数量” ÷ “单间场所覆盖人数”。

KTV数量=6亿÷2W=30千间

酒吧数量=6亿÷10W=6千间

小餐馆数量=6亿÷500=6亿÷(1000÷2)=6亿÷1000*2=1.2 百万间

家庭数量=14亿÷3=12亿÷3+2.1亿÷3=4亿+0.7亿=4.7亿间↑

计算“各场所啤酒夏季日消耗瓶数”，即“单间场所日消耗瓶数”乘“场所数量”。

KTV啤酒夏季日消耗瓶数=90*30=2700千瓶

酒吧啤酒夏季日消耗瓶数=90*6=540千瓶

小餐馆啤酒夏季日消耗瓶数=1.2*200=240百万瓶

家庭啤酒夏季日消耗瓶数=

4.7*0.15=4.7*0.1+4.7*0.1÷2≈0.47+0.23=0.7亿甁=70百万瓶

计算“最终结果”：

算完以上之后，由于KTV和酒吧占比很小，所以你可以放心取整数了。

四种场所总计=2700千瓶+540千瓶+240百万瓶+70百万瓶≈（2.5+0.5+240+70）百万瓶约等于310百万瓶

那么以上，我们估算了四个主要消费场所的量，我已经很难想到其它大的消费场所了，因此我估算其他场所只占消耗量的10%。则总计=310+310*10%+=310+31约等于340百万瓶。

前面提到我是按照旺季的消耗量去预估的，因此数据是偏高的，我需要打一个季节折扣。

这个折扣我根据自己的理解设定为80%。则总计为：

=340*80%=340*100%-340*20%=340-68约等于=340-70=270百万瓶

一年365天，则一年总计=270*365=250*400=100000百万瓶=1000亿甁。

每瓶容积为0.45升，则中国2018年啤酒消耗量=1000*0.45=450亿升。

我用excel精确计算后的结果为453亿升，可谓相当接近了。

朋友告知第三方给出的数据在400-450亿升之间。能够碰巧在这个区间也需要一部分运气。

《Case Interview Secrets 》作者谈到，这类估算问题，如果与真实数据误差在20%以内，就算是非常完美的估算结果了。

当然更加重要的还是解题的思路，一步步将未知的问题拆成若干自己相对已知的范围里去解题。

三、结束语

咨询公司面试圣经《Case Interview Secrets 》中作者写道：

“咨询公司在面试中提出估算问题有几个实际原因：

在咨询中，客户经常要求你评估许多潜在的机会。一次完整的评估工作很容易让客户耗费100万到300万美元，因此仔细分析每一个机会的细节的成本很快就会变得相当昂贵。

通常，咨询师通过评估估计的财务影响是否远远接近预期的最低财务回报来确定是否值得考虑一个机会，使用这种估算技巧可以很容易地消除80%的待评估项。

例如，我最近与一位客户合作，开发业务增长的选项。执行团队提出了30种不同的可能性，但公司规模相对较小，根本没有人力来分析，更不用说同时追求30种新的收入来源。

使用一个标记和活动挂图，我与客户一起评估了每个机会的最佳案例场景收入影响。

我问客户以下问题：现有客户有多少比例会购买你们的新产品？在最佳情况下，实际购买的百分比是多少？能实际支付的最高价格是多少？

一旦客户回答了这些问题，我就说：“如果我们把所有这些（微观）估计放在一起，我会得到一个最好的情况，假设一切都进行得非常完美，那么我的收入将达到X百万美元。”

执行团队成员已经就是否投资这个新产品进行了多年的辩论，但实际上没有人做过估算分析。当团队成员看到最佳案例图时，他们一致认为这么少的收入不值得进行争论。我们当场扼杀了这个想法，在短短十分钟内结束了为期三年的争论。

客户重视使用基于合理假设的估计来解决长期争论的能力。如果客户重视某件事，那么咨询公司合伙人就重视找到能给客户想要的东西的人。在这种情况下，你可以理解为什么面试官会问评估问题。”

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