广义相对论、黑洞和引力波

2018 年 8 月 15 日 中科院高能所

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1.前言

2016年2月11日，美国LIGO（激光干涉引力波天文台）科学合作组联合美国国家科学基金委召开新闻发布会宣布：人类第一次直接探测到了引力波（GW150914）。这次引力波的波源是离地球13亿光年远的两个黑洞的并合事件。两个初始质量分别为29和36个太阳质量的黑洞并合为一个62个太阳质量的黑洞，其余的3个太阳质量的能量以引力波的形式向外辐射出来【1】，观测结果与爱因斯坦的广义相对论基本相符【2】。这次引力波观测具有两个重大意义：一是人类首次观测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预言；二是首次观测到双黑洞系统，不仅证明宇宙中黑洞是存在的，还会成对出现。2017年诺贝尔物理奖授予了对引力波探测作出重要贡献的美国麻省理工学院的Rainer Weiss教授和加州理工学院的Barry Barish教授和Kip Thorne教授。引力波的探测又一次极大地激发了人们对广义相对论的兴趣，本文将简单地介绍广义相对论，它的两大预言黑洞和引力波，现代宇宙学标准模型，以及由黑洞的热力学所启发的引力全息性质及其在强耦合场论中应用。

2.广义相对论

引力现象无处不在。1687年，牛顿在其巨著《自然哲学的数学原理》中提出了万有引力定律。这是人类最早发现的自然规律，它统一了地上的引力现象和天体的运动规律。1905年，爱因斯坦建立了狭义相对论。狭义相对论建立在两个原理之上。其一是相对性原理，其二是光速不变原理。光速不变原理是指光速在真空中总是以确定的速度转播，速度的大小与光源的运动状态无关。而相对性原理是指所有物理规律（除引力外）在所有惯性系中保持相同的形式，或者说所有的物理规律在洛伦兹变换下保持形式不变。在狭义相对论中，惯性系具有优越的地位。爱因斯坦相信所有的物理规律应该在所有参照系中具有不变性。考虑到引力规律的普适性（等价性原理）和马赫原理，爱因斯坦发现了非惯性系和引力的联系，经过大量的努力，终于在1915年11月25日最终得到了现在被称为的爱因斯坦引力场方程。

Rμν –1/2R gμν = 8πG Tμν

这个引力场方程的左边描述的是时空的几何，右边是时空中的物质。著名物理学家J. Wheeler关于引力场方程有一句著名的论断：时空中的物质告诉时空如何弯曲，而时空告诉物质如何运动。从牛顿引力到爱因斯坦的广义相对论是人类对引力本质认识的飞跃，爱因斯坦广义相对论是关于时间、空间和引力的理论。广义相对论是人类理性逻辑思维的胜利。一百年来，它通过了各类实验检验，并且基于广义相对论我们建立了可以描述宇宙物质内容和演化的标准宇宙学模型。理论物理学家朗道说过：“广义相对论可能是最漂亮的理论”。但是广义相对论是一个经典理论，它与量子力学还无法自洽地协调起来，此其一。其二，在广义相对论框架内，时空奇异性无法避免。这些预示着广义相对论不是关于引力本质的终极故事。人们对引力的本质认识还有很长的路要走。确实，美国《科学》在纪念创刊125周年时列出了125个基础科学的重要问题，其中之一就是引力的本质问题。与此相关的还有：宇宙的唯一性，什么驱动了宇宙的暴胀，黑洞的本质以及为什么时间与空间维度表现的如此不一样等。引力问题如此之难其根源在于引力理论是关于时间和空间的理论。

3.引力波和宇宙学

1916年爱因斯坦基于其广义相对论的引力理论，提出存在引力波的预言。引力波是时空的涟漪。引力辐射的最低阶辐射是质量的四极矩随时间的变化引起的，所以引力辐射非常微弱以至于爱因斯坦本人认为引力波可能是不可能观测到的。尽管爱因斯坦在1916年就预言了引力波的存在性，但直到五十年代中期物理学家们才真正证明引力波携带能量，是一个可探测的客观实在。当一个引力波在时空中传播时会改变二个相邻粒子间的距离。据此，人们设计实验来探测引力波。在六十年代美国的韦伯设计了铝棒天线来探测引力波并宣称探测到了引力波。但其他相关的实验并没有能够证实韦伯的结果。在七十年代初Rainer Weiss 和Ronald Drever等科学家提出利用激光干涉的办法来探测引力波。经过近30年的努力，美国的LIGO项目正是利用了这一方法探测到了引力波。目前，地面引力波探测器有美国的LIGO，意大利的VIRGO, 日本的KAGRA，德国的GE600和印度的LIGO—india（在建），空间引力波探测器有欧洲的LISA(在建)，中国的太极和天琴计划，日本的DECIGO，美国的BBO等。目前中国的太极计划和天琴计划的关键技术正在积极研发中。LISA pathfinder 已于2015年12月2日发射成功，关键技术得到了验证。到目前为止，LIGO团队（和VIRGO）已经观测到六次黑洞碰撞产生的引力波事件。另外，特别有意义的引力波事件GW170817是双中子星碰撞产生的引力波，它开启了引力波和电磁信号协同观测的时代。

引力波的波源非常丰富，基本可以分成两类：宇宙学的和天体物理过程的。宇宙学的引力波源主要有早期宇宙暴胀过程产生的时空量子涨落产生的引力波随机背景和宇宙演化过程中相变产生的引力波；天体物理过程的引力波源有致密双星系统，超新星爆炸，非对称性中子星的旋转等。引力波的频率也非常宽，从宇宙暴胀产生的原初引力波10^(-16)Hz到恒星级双星系统产生的引力波10^（3）Hz, 甚至更高频率的引力波。根据引力波的频率，探测方法也不同，有探测原初引力波的宇宙微波背景中的B模式极化，纳赫兹引力波的脉冲星测时阵列，毫赫兹引力波的空间激光干涉探测，以及高频引力波的地面激光干涉探测等。

引力波物理内容非常丰富。它涉及到基础物理，宇宙学和天体物理【3】。引力波波源是极端条件下（高温，高密，高磁场）物理现象和物质性质的宇宙实验室。引力波的性质记录了引力波源的物理过程。譬如宇宙暴胀时期产生的引力波记录了宇宙暴胀物理，如暴胀发生的能标；粒子物理标准模型中弱电相变如果是强一阶相变，这一过程会产生空间引力波探测器所敏感的毫赫兹频率引力波。这一随机引力波背景能够反演出希格斯势的整体性质。另一方面，引力相互作用很弱，引力波一旦产生，它几乎自由地在宇宙中传播。所以引力波又是考查宇宙演化历史的探针。

大量的天文观测表明，我们现在的宇宙由大约5%的带电重子物质，27%的暗物质和68%的暗能量组成。和谐宇宙模型认为在宇宙极早期（大约为宇宙诞生的10^(-32)秒左右）经历过一个暴涨时期，在一个极短的时间内，宇宙的大小至少膨胀了10^（26）倍，在宇宙暴涨过程中产生的标量量子涨落是现在观测到的宇宙大尺度结构的原始种子，而张量涨落形成所谓的原初引力波，在宇宙微波背景中形成独特的印记—B模式极化。粒子物理标准模型可以很好地描述宇宙中5%的发光物质，而对暗物质和暗能量的性质，我们还知之甚少。另外，我们对宇宙早期什么使得宇宙发生了暴涨还不清楚，暴涨模型预言的原初引力波还没有被观测到。这些也是本世纪物理学的重大科学问题。

现代宇宙学的暴胀理论不仅解决了热大爆炸宇宙模型中存在的一些疑难，而且预言的原初密度扰动为宇宙大尺度结构的形成提供了原初种子，同时十分自然地解释了宇宙微波背景辐射的温度涨落。然而，什么驱动了宇宙早期的暴胀（或者说暴胀场的物理本质）仍然是一个目前理论物理学家和宇宙学家积极研究的课题。该问题也被美国《科学》杂志列为二十一世纪有待解决的125个基本科学问题之一。此外，暴胀发生时的能标仍然不能被确定，目前宇宙微波背景辐射观测数据只能告诉我们暴胀发生能标的上限。

最近，我们研究了一类具有尖角势函数的暴胀模型。这样一类尖角势函数可以在超弦理论中的一些非微扰效应中出现。他们发现该模型产生的原初密度扰动和原初引力波与目前的宇宙微波背景辐射观测数据一致，在暴胀结束的宇宙重加热阶段能够产生具有双峰结构的随机引力波能谱【4】。该能谱与一般的暴胀场产生的单峰能谱显著不同；该预言能够被将来的LIGO实验所检验。暴胀结束后暴胀场在尖角势函数的极小值点附近震荡，由于势函数的二阶导数是狄拉克函数，暴胀场的能谱在动量空间一些区域随时间剧烈增长，产生大量的能量聚集的震荡子结构，暴胀场自身变得极不均匀。这种空间不均匀的结构导致了很强的随机引力波背景的产生。

尖角势函数的暴涨势能

引力波能谱的双峰结构

4. 黑洞、引力的本质和引力的全息性质

黑洞是广义相对论最重要的预言之一，是一类非常特殊的天体。黑洞最重要的性质是黑洞具有热力学性质。上世纪七十年代初，贝肯斯坦（J.Bekenstein）基于热力学第二定律提出黑洞具有熵，并证明黑洞熵正比于黑洞的视界面积。1974年霍金证明黑洞并不黑，它会以热辐射的形式向外辐射粒子，并证明了黑洞的温度正比于黑洞的表面引力。黑洞的温度和熵预示着黑洞就是一个普通的热力学体系，具有黑洞热力学四个定律。但是黑洞的熵公式预示着引力非常不同于自然界中的其他三类相互作用。黑洞热力学暗含着热力学和引力的动力学存在本质的联系。确实我们证明了从热力学第一定律出发可以推导出描述宇宙演化的动力学方程，即Friedmann方程【5】；证明了宇宙视界具有霍金热辐射【6】。另外，诺贝尔物理奖获得者特胡夫特（G.’tHooft）在1993年提出引力具有全息性质的概念，1994年萨斯坎德（L. Susskind）进一步发展了引力的全息概念。所谓引力的全息性质是指一个引力体系的自由度由该体系的表面面积测度，一个引力理论可与一个低一维的非引力理论等价描述。1997年底，基于超弦理论的非微扰性质研究，马达西那（J.Maldacena）提出了第一个实现引力全息描述的具体例子【7】：在一个反德西特时空上的引力理论等价于其边界上的共形场论。这就是著名的AdS/CFT对偶性。一个具体的例子是一个五维的反德西特时空（带一个紧致的五维球）上的IIB的超弦理论等价于在这个五维反德西特时空边界上的一个四维的N=4超对称Yang-Mills 场论。这个对偶性具有重要的科学意义。一是对引力本质的深刻认识；二是基于该对偶性的弱强对偶性质，利用弱耦合的引力理论可以理解一些强耦合的非引力体系的性质。它提供了一种非常有效方法。例如利用反德西特时空中的引力理论，人们可以用来理解低能量子色动力学，凝聚态物理中的高温超导等体系的性质。确实，这也是引力理论及其相关领域在最近二十年来研究最活跃的课题，并取得了一些非常重要的进展。例如，对夸克胶子等离子体的性质研究，利用AdS/CFT对偶性，计算发现夸克胶子等离子体的剪切粘滞系数与熵密度之比为1/4π。特别是利用Gauss-Bonnet 黑洞【8】计算得到的剪切粘滞系数与熵密度之比非常接近于实验观测值【9】，而基于弱耦合的色动力学计算则偏差很大。利用AdS/CFT对偶性研究量子物态的性质是目前重要的研究方向。高温超导作为一个强关联量子多体系统对传统的固体量子理论提出了严峻挑战。高温超导的典型特征是存在各种不同自由度的有序态与超导态紧密交织在一起，阐明这些电子有序态的起源及其与超导态的关联对于理解高温超导机制具有重要意义。其中一个研究热点是库珀对密度波:(既使在没有外磁场情况下)库珀对密度在空间上出现周期性调制，进而诱导电荷周期性分布，形成电荷有序态。

最近我们从有效场论角度出发构建了库珀对密度波的全息模型【10】。通过解析和数值方法得到了自发破缺空间平移对称性和U(1)规范对称性的带毛黑洞解，包括一维的条纹相和两维的晶格相。这些新颖的带毛黑洞对偶描述了无外磁场情况下库珀对密度波以及其诱导出的电荷密度周期性调制，揭示了低温有序态独特的互相交织的行为可能根植于量子临界金属强烈的纠缠性质。同时模型还预言了宇称的自发破缺，这与最近高温超导中的实验观测一致。该模型在理论上为实现和研究强关联情况下的电子有序态及其与超导相的关系提供了新的视角。