The hat guessing number $HG(G)$ of a graph $G$ on $n$ vertices is defined in terms of the following game: $n$ players are placed on the $n$ vertices of $G$, each wearing a hat whose color is arbitrarily chosen from a set of $q$ possible colors. Each player can see the hat colors of his neighbors, but not his own hat color. All of the players are asked to guess their own hat colors simultaneously, according to a predetermined guessing strategy and the hat colors they see, where no communication between them is allowed. The hat guessing number $HG(G)$ is the largest integer $q$ such that there exists a guessing strategy guaranteeing at least one correct guess for any hat assignment of $q$ possible colors. In this note we construct a planar graph $G$ satisfying $HG(G)=12$, settling a problem raised in \cite{BDFGM}. We also improve the known lower bound of $(2-o(1))\log_2 n$ for the typical hat guessing number of the random graph $G=G(n,1/2)$, showing that it is at least $n^{1-o(1)}$ with probability tending to $1$ as $n$ tends to infinity. Finally, we consider the linear hat guessing number of complete multipartite graphs.


翻译:以美元为顶点的GG(G) 字数猜想 $HG(G) 美元, 以下列游戏为定义 : 美元玩家被放在$$(G) 的顶点上, 每个戴帽子的颜色被任意地从一组美元可能的颜色中选取。 每个玩家可以看到邻居的帽子颜色, 而不是自己的帽子颜色。 所有玩家都被要求同时猜想他们自己的帽子颜色, 根据事先决定的猜想策略和他们看到的帽子颜色, 不允许他们之间交流。 $(G) 的帽子是最大的整数 $(G) 。 美元是最大的整数, 这样就有一个假设策略, 保证任何帽子分配的颜色至少有一个正确的猜想 $q( $ $ ) 。 在本说明中, 我们绘制一个符合$( G) = $ (BDFDFG) 的平面图, 解决在\ cite {BDFGM} 中提出的问题。 我们还改进了已知的 $ (O_ 2 n n n number number) 。 在 $ (G) round_ rass 中以 美元中, rass =x 。

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