We characterise the classes of tournaments with tractable first-order model checking. For every hereditary class of tournaments $\mathcal T$, first-order model checking either is fixed parameter tractable, or is AW$[*]$-hard. This dichotomy coincides with the fact that $\mathcal T$ has either bounded or unbounded twin-width, and that the growth of $\mathcal T$ is either at most exponential or at least factorial. From the model-theoretic point of view, we show that NIP classes of tournaments coincide with bounded twin-width. Twin-width is also characterised by three infinite families of obstructions: $\mathcal T$ has bounded twin-width if and only if it excludes one tournament from each family. This generalises results of Bonnet et al. on ordered graphs. The key for these results is a polynomial time algorithm which takes as input a tournament $T$ and compute a linear order $<$ on $V(T)$ such that the twin-width of the birelation $(T,<)$ is at most some function of the twin-width of $T$. Since approximating twin-width can be done in polynomial time for an ordered structure $(T,<)$, this provides a polytime approximation of twin-width for tournaments. Our results extend to oriented graphs with stable sets of bounded size, which may also be augmented by arbitrary binary relations.


翻译:我们用可移植的第一阶模式检查来描述比赛的等级。 对于每类世袭比赛来说, $\ mathcal T$, 第一阶模式检查要么是固定的参数可移动的, 要么是AW$[*]$-硬的。 这一对称与以下事实相吻合: $\ mathcal T$已经捆绑或没有绑定双宽, 而美元在订购的图表上增长的双曲线T$要么最多是指数性的, 要么至少是系数性的。 从模型理论角度看, 我们显示, 全国杯赛的等级与捆绑的双曲线双曲线的双曲线, 双曲线的双曲线的双曲线, 也可以是双曲线的双曲线的双曲线。 双曲线的双曲线, 双曲线的双曲线, 也可以是双曲线的双曲线的双曲线。 双曲线的双曲线, 双曲线的双曲线的直径, 双曲线的直径, 也可以是双曲线的双曲线的双曲线, 。

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