顾险峰：清华计算机系一甲子，追忆清华逝水年华

2018 年 9 月 16 日 德先生

作者：顾险峰

公元2018年9月16日，清华大学计算机科学与技术系建系六十周年系庆，“贵系”1989级同学入学29周年纪念，将近三十年。

往日如昨，那一年青春年少，英姿勃发，高举理想主义的大旗，一路高歌猛进，斗志昂扬；弹指一挥间，三十年世事巨变，沧海桑田，昭华已逝，沉疴缠身，苟且庸琐，意兴阑珊。能够在人生至善至纯的时节，在中国最高学府浸淫于人类数千年的思想文化精髓之中，心无旁骛地欣赏体悟，实在是人生之大幸！回想在清华学习接触到的科学人文，反观对照这三十年的人生道路，见微知著，日有所悟。只可叹年轻时凌云万丈，豪情满怀，但是文字功力不足，无法直抒胸臆；现如今一支秃笔，词略达意，但是波澜不惊，激情不再。近些年来，时乖命蹇，愁肠百结，回首青葱岁月，更是怅惘慨叹。恰值系庆60周年，万千思绪，无从谈起，朝花夕拾，略述一二。

曾经去安阳殷墟探访中华民族的文化源头，极度震撼：一具铜鼎之中霍然一颗煮熟的敌酋人头；一具守墓武士的骨骸，手持铜戈，杀气腾腾，千年不堕；妇好的铜钺，腰斩的殉葬，无一不显示我们先祖的尚武精神。但是，更令老顾震惊的是殷墟发掘的十万甲骨。商王武丁对周边方国、部落发动了一系列的战争。他的妻子妇好多次受命代商王征集兵员，屡任将军征战沙场。武丁深爱他的妻子，每次战争之前都用甲骨进行占卜；妇好生病时，武丁也为她占卜祈福。妇好英年早逝后，伤心欲绝的武丁王将妇好平生的所有甲骨卜辞深藏地下。数千年后，殷墟甲骨文被发掘，司马迁史记中记载的商朝不再是上古传说，而是辅有文字和考古证据的确凿历史。十万甲骨目前流落台湾，殷墟空留一个幽暗的巨坑，坑中一具白骨，没有刀斫斧砍的痕迹，平静而安详。甲骨文是中华民族最早具有完备体系的文字，这具自愿殉葬的白骨可能是最早的知识分子，是甲骨文的千年守卫者。这一切让老顾深感欣慰：上古的中华民族，骁勇尚武，浪漫深情，同时建立了完备的文字系统，千年血脉，生生不息。时至今日，中华文明早已根深叶茂，繁花满树。

但是，作为科技工作者，令老顾一直耿耿于怀的是近代中国没有发展出具有完备体系的科学，无数工艺技术世代口耳相传，断代于战乱，流失于饥馑，最终没能像甲骨文一样演化发展，而是被湮没在历史长河之中。那么人类世代积累的零散知识和技术如何才能汇集成完备的体系，持续地繁衍生长呢？科学技术发展的历史脉络如何把握呢？清华的早年教育给了我们很多启迪。

数学教育

多少年后，回想初上清华，老顾觉得非常幸运，也非常感激黄连生老师。黄老师亲手将老顾挑选入当时计算机系的“理论班”，同时学习数学系和计算机系的课程，这使得老顾有机会受到两个领域的科班训练，了解基础科学和工程技术两个领域的价值观念、审美标准、思维方法和核心技能。在未来漫长的人生道路中，（其实是过去的30年里），因为有了计算机技能，可以信心十足地应对眼前的苟且，同时体悟了纯粹数学的优美，能够在喘息中抬头眺望诗和远方。其实，理论班学习到的数学知识归结为最为基本而又重要的是两个框架：思维框架和计算框架。

1. 思维的框架

理论班学习的是莫斯科大学数学系的教材，布尔巴基学派的结构主义，高屋建瓴，立意深远，沉宏博大，融汇古今。数学分析一开始花费长篇巨著讲解什么是“数”，从公理构造整数，再构造有理数，再将有理数完备化，构造实数。陈天权老师苦口婆心，费尽心机，可是大家依然面面相觑，不知所以。其实大家并非不理解相关技术细节，而是无法领会背后的哲学意义。整数是最为基本的数学概念，但是整数是客观实在、还是主观构造？实数理论的构造方式揭示了现代科学体系的构造范式：公理化方法。

在武丁时期一千多年后的托勒密一世时期，古希腊的亚历山大里亚，诞生了欧几里得。人类历史上，欧几里得首次用公理化方法总结梳理了零散的几何知识，构造成完备的欧几里得几何体系，时至今日，依然蓬勃发展。欧几里得利用5条显而易见、无可辩驳的公理，应用严密而又机械的逻辑思维演绎出当时古希腊人已知的几乎所有几何知识，包罗万象，洋洋大观，但是整个体系却简单清晰。从此之后，公理化方法成为科学发展的范式：人类经过长期的生产实践，观察积累的经验知识，最后被汇总到某一个理论体系之中，由公理经过逻辑推演出来；同时，理论体系经常做出各种预言，依随生产技术水平的提高，逐步被验证，融入技术发展之中。比如，概率理论的发展，开始由广大工程师们和数学家们点滴积累，逐步建立了关键概念，发现了一些定理，最后柯尔莫哥洛夫应用测度论建立了概率论的公理体系。再如，爱因斯坦首先提出了公理，包括狭义相对性原理（一切物理定律（除引力外）的方程式在洛伦兹变换下保持形式不变）和光速不变原理，创建了狭义相对论；后来他又提出了公理，包括等效原理（惯性力场与引力场的动力学效应局部不可分辨）和广义相对性原理（所有的物理定律在任何参考系中都取相同的形式），建立了广义相对论。代数拓扑发展过程中，出现了很多种彼此不同的变体，例如单纯同调、奇异同调、层论等等，后来发展出的公理体系将这些分支统一起来，简化了理论体系，更为深刻地揭示了本质。古代中国科学发展史和西方的主要区别在于公理化方法。公理化方法的益处在于：一旦辩论双方都认可公理，那么整个理论体系都可以通过逻辑计算出来，因此不会出现任何歧义；理论的严格性容易被验证。换言之，思维的严密性有了技术手段来保证，这正是中国文化所缺失的关键特征之一。

由于公理化方法如此成功，希尔伯特提出了将整个数学科学公理化的宏伟蓝图，他希望建立一个完备的公理化体系，将所有的数学真理囊括进去。哥德尔的理论使希尔伯特的梦想破灭。哥德尔证明了对于任何一个包含算术公理的公理体系，都存在一个命题，无论此命题为真或者为假，都和此公理体系相容。

有理数有无穷多个，实数有无穷多个，可以证明有理数可以和实数的一个真子集建立双射，实数无法和有理数的子集建立双射。这意味着实数无穷多比有理数的无穷多本质上更多。那么实数无穷多和有理数无穷多之间是否存在一个无穷多，本质上严格小于实数无穷多，同时又大于有理数无穷多？无论回答存在或者不存在，都不和现代数学相矛盾。开学不到3个月，理论班的同学们就深刻认识到如下的哲学思想：使得思维严密化、系统化、体系化的科学范式是公理化方法，同时，人类只能得到相对真理，从而逼近但是永远达不到绝对真理。同时，哥德尔和希尔伯特之争表明了人类探索科学的过程，是永无止境的。

同时，布尔巴基学派的结构主义对于理论班同学思维框架的奠定起到了决定性的作用。结构主义认为，自然界的时间、空间和关系可以相应被抽象成序结构、拓扑结构和代数，这些基本结构相互交织演化出更为复杂的结构，例如拓扑流形和群相结合就是李群。不同的几何就是研究某个变换群下的不变量，自然界的客观对象具有不同层次的结构，例如一张人脸曲面，具有拓扑结构，共形结构，黎曼度量结构，在三维空间中的嵌入结构等等。每种结构有着不同的研究手法，和数学工具。不同的工程问题需要判断所在的结构层次，用到不同的理论工具。例如物理中的等效电阻，本质上是共形结构起作用；而量子霍尔效应，本质上是拓扑结构起作用。在过去几十年里，老顾一直用计算机来研究共形结构。

2. 计算的框架

理论班的同学经过学习“什么是数”，领悟到另外一个极为重要的数学思想：完备化。数学分析的根基在于微积分，微积分要求运算所施加的数系对求极限封闭，即所谓的完备性。有理数域并不完备，因此我们需要将有理数完备化：将每个有理数柯西列（的等价类）看成是一个实数。用这种古怪而又迂回的思想来解释什么是“数”，使得大家难以适从。多少年后，我们才真正理解背后的深刻性。理论班在本科的最后数学课程是泛函分析，偏微分方程。自然的物理现象都满足最小作用原理，我们可以提出一种以函数为自变量的能量，然后构造一族函数序列，使得能量逐步减小，这一能量递减序列的极限就是问题的解。这要求函数空间对于函数序列求极限封闭。我们将有理数完备化的思想用于函数空间，这样就将经典函数空间推广到索伯列夫空间，从而奠定了偏微分方程的理论基础。

在后来的研究生涯中，老顾意识到，绝大多数的物理定律最终都表示成偏微分方程，很多工程和医学领域的问题最终也归结为求解偏微分方程。很多工程新领域的建立往往依赖于某个偏微分方程解存在性的证明确立，这些领域的最终算法其实都等价于某种数值偏微分方程的解法，或者某种等价的最小作用原理。因此，偏微分方程理论的掌握，实际上对于工程方面的理论研究起着极为重要的作用；而数值偏微分方程的算法掌握，对于工程方面的应用研究必不可少。

从另外一个角度而言，人类思维的最高表现形式是科学理论体系，具体表现形式是公理体系，最终可以归结为从公理到定理的逻辑计算问题。依循这一发展脉络，自然就是人工智能的符号主义。将公理体系代数化，符号主义归结为计算代数。计算代数的理论根基在于希尔伯特定理：多元多项式环中的理想是有限生成的；计算代数的主要算法包括吴文俊方法和Grobner基方法。但是，这些算法的复杂度都是指数级的，目前的算力无法使得计算机能够自动发现人类尚未意识到的深刻定理。通过和吴文俊先生的高足王东明、高小山老师交流，老顾得知目前局部微分几何的定理可以用计算代数自动推出，但是整体微分几何定理还无法自动证明，关键在于代数拓扑理论还没有进入机器定理证明领域。

因此可以，数值代数方程的理论和算法，是计算框架中不可或缺的组成部分。

老顾研究的计算共形几何的框架基本上是用偏微分方程方法，但是存在等价的计算代数方法。计算代数方法所得结论都是绝对精确的，因此计算复杂度非常高；计算偏微分方程方法所得结果是近似的，因此复杂度较低，实际中比较常用。

计算机教育

在清华期间，计算机系的老师们从海外带来了最新的科研方向，令大家受益匪浅。理论组的卢开澄老师将组合数学、离散数学引入国内。卢老为大家讲解群论伽罗华理论，用置换群的可解性来证明高次代数方程不存在求根公式，美轮美奂，把大家听得如醉如痴。最后讲到伽罗华为了爱情而决斗身为，卢老大呼可惜，“他着什么急嘛！”后来讲到奇数阶群都是可解群，直到有限单群分类。那时卢老已经开始了零知识的研究，30年后在区块链上的应用被评为最新科技。黄连生老师讲解线性规划和凸优化，多年之后老顾才理解它们和最优传输理论的内在关系，以及在深度学习生成模型上的应用。黄老师给蒋步星和老顾一本《椭圆曲线理论》，当时老顾不解其意。多年后，Andrew Wiles用椭圆曲线理论证明了费马大定理。最近，椭圆曲线加密被广泛地应用于区块链技术。戴一奇老师讲解有限域论，后来老顾在哈佛学习了图灵奖得主Michael Rabin的随机算法课程，其主要工作就是证明了大数分解是概率多项式复杂度，主要的数学工具就是有限域论。王尔乾老师为大家讲解数字电路，他告诫大家做研究欲速则不达，必须经历的三个阶段“照猫画虎、画蛇添足和独立创造”。他讲了自己当初设计两位数乘法芯片的故事，当时同事们设计了各种逻辑电路，繁琐复杂，他快刀斩乱麻，直接将乘法表烧入rom。这使得我们明白最为简单直接的技术手段就是最有价值的技术手段。孙家广老师给大家讲解计算机复辅助几何设计，他用平面直线相交的算法，强调了算法鲁棒性的重要，并且表达了为创造中国自己CAD系统的雄心。张饶学老师刚从日本回到中国，为大家讲解操作系统，他详尽地解释了进程和程序的区别。孙茂松老师讲解自动控制理论，用压缩映射不动点定理证明常微分方程解的存在唯一性。唐泽圣老师讲解计算几何和可视化，介绍前沿的体视化技术。严蔚敏老师讲解数据结构，详细讲授了将递归转化为循环的技巧。吴建平老师刚从德国回到中国，教授大家网络课程，用c语言实现TCP七层协议。他预言Internet必将为全世界带来革命。

五年的计算机课程学习，为大家打下了坚实的技术基础，同时看到了新一轮的工业革命正在酝酿。

信息革命的浪潮

很快，信息革命的浪潮如海啸般袭来，山河作色，乾坤逆转。个人电脑，Internet，电子商务，无线移动，万物互联，大数据分析，社交网络，虚拟现实，人工智能，一代代科技浪潮排山倒海，摧枯拉朽，颠覆着传统产业，社交生活，商业模式，金融物流，乃至价值观念。

老顾一直在学术界耕耘，目睹和参与了学术领域几次浪潮。仔细分析这些学术浪潮的模式，老顾发现它们的数学理论根基相对古老，每次都是有核心的工程技术突破，从而提出了新的理论问题，新的理论建立后，进一步推动浪潮发展。同时这几次浪潮都有核心的理论框架和算法框架，其奠基人都具有深厚的理论素养。

我们先以偏微分方程三种数值解法引发的三次浪潮为例。传统上偏微分方程都是定义在欧氏空间之中，二十世纪微分几何的发展，使得微积分可以被推广到完全的流形上面，几何偏微分方程理论得到长足发展。计算机只能表示有限的离散数据，我们需要将连续的偏微分方程求解问题离散化。一般来说，有三种比较普适的离散化方法，对应着三种数值偏微分方程的解法，这三种方法在过去的30年中，在不同的领域中各领风骚一个阶段，其兴起的过程和具体技术突破、世界时局有很大的关系。

1. 数字几何

一种方法是将流形（例如曲面）进行三角剖分，然后应用有限元方法求解偏微分方程。在过去十几年，计算机图形学领域兴起的数字几何领域就是基于这种思想。人们可以用各种三维扫描设备直接从环境中获取点云数据，然后将这些点云去噪、融合、光顺、三角剖分，参数化，贴附纹理，几何编辑等等。这些都是数字几何研究的内容，基本的数学基础是代数拓扑、微分几何、几何偏微分方程，这些数学理论于二十世纪七、八十年代发展起来。三十年后，数字几何兴起的原因归功于三维扫描技术的成熟，那么三维扫描技术的成功如何解释呢？老顾倾向于认为，归功于所谓的数字相机和数字光源处理技术（Digital Light Processing），特别是数字微镜设备技术（digital micromirror device， DMD）。德州仪器公司历经数十年研发一种DMD芯片，将数十万面微小的镜子集成到一个芯片上，从而可以精确的控制每个像素的光强。将这种DMD芯片装入投影仪，作为光源，人们可以精确设计各种结构光，从而用数字相机获取图片，经过软件解码，得到三维信息。和经典有限元方法相比，数字几何更多地在曲面上解偏微分方程。老顾研究的“计算共形几何”和数字几何方法密切相关。

2. 水平集方法

另一种方法是用有限差分方法来求解偏微分方程。两千年左右兴起的水平集方法属于这一类别，这种方法曾经是医学图像、图像处理和计算机视觉领域的主流方法。在水平集方法出现之前，图像处理领域基本没有统一的理论框架，基本上是一些实用方法的杂散集合。Stanley Osher教授等创始人基于偏微分方程的变分原理来统一图像处理的问题，从而将工程方法提升到理论方法。Osher教授于1980年代提出水平集方法，二十年后大行其道，其内在原因之一在于医学图像技术的成熟，即核磁共振和CT扫描技术的成熟在于两千年左右。由于医学图像大规模增加，市场上对于医学图像处理技术的需求陡增。水平集方法理论严密，实用有效，同时代码简单，迅速风靡各个领域。

同时，工程师们在压缩医学图像的时候，发现一个传统信息理论无法解释的现象。传统Nyquist理论说：如果有一个信号其频谱宽度为n，采样率必须是2n以上，才能保证采样的信号没有失真。工程师们发现医学图像的频谱很宽，但是比较稀疏，这种情况下采样率远低于2n时，依然可以保持不失真。这引起了陶泽轩的注意，由此发展了稀疏感知理论（Sparse Sensing）。但是这一理论需要进行优化，复杂度非常之高，无法在实用中推广。幸而，Donoho证明在很多情况下优化和优化等价，而后者的计算是切实可行的。一时间稀疏感知成为主流方法。

3. 等几何分析方法

第三种方法是将流形用样条来表示，同时将求解的函数也用样条来表示，将偏微分方程转化成代数方法，进行求解。这种方法不需要用到变分法，不需要弱解到强解的逼近，精度高，光滑性好。同时，省去了复杂的三角剖分过程。从2010年左右，在计算机辅助制造领域，Tom Hughes教授大力推动这种等几何分析方法。目前在世界范围内蔚然成风，成为机械力学领域异军突起的一个新兴领域。但是，等几何分析的关键是构造三维实体的样条，这需要将低维拓扑中比较深刻的理论向工程领域的渗透，例如三流形的拓扑理论和曲面叶状结构理论等等。

我们再以另外两个新兴领域为例，看一下数学理论和工程技术的交织发展情况。

1. 拓扑优化

在机械设计领域，拓扑优化是一个迅猛发展的领域。在给定设计要求的条件下，如何进行形状优化，以达到满足力学性能要求，同时节省材料、方便制作的目的。这在航空航天，医疗器械设计等领域至关重要。拓扑优化领域兴起的原因何在？在于三维打印技术的发展和成熟。拓扑优化方法给出的设计方案往往非常复杂，用传统的数控机床无法制造。但是三维打印带来的增材制造技术可以生产复杂拓扑和几何的机械零件，从而使得拓扑优化领域发展方兴未艾。从数学基础来看，拓扑优化往往设计弯曲形状，其力学分析更为复杂，需要系统应用流形上的微积分，我们可以预见黎曼几何和计算力学的深度结合。

2. 持续同调（Persistent Homolgy）

三维扫描技术的成熟在计算几何领域催生了一个新兴方向，所谓的持续同调。通过离散点云，我们希望重建相应的曲面，首先我们需要判断曲面的拓扑。我们将距离小于某个域值的点彼此相连，构成单纯复形，计算同调群；然后增大阈值，检测同调群的变化情况，以此推断曲面的拓扑。持续同调的理论由Herbert Edelsbrunner教授提出并推广，Edelsbrunner教授对于过于实用的技术没有兴趣，对于实用技术背后的数学理论非常热衷。他早年提出的Delaunay三角剖分理论后来发展成在中国几乎家喻户晓的公司Geomagic。Geomagic的兴盛可能和中国前些年的山寨工业有关。绝大多数制造作坊，用三维扫描仪获取某个现有产品的外形，然后用geomagic软件工具将点云转换成样条曲面，编辑修改后再用数控机床加工出来，作为模具，从而批量生产山寨产品。Edelsbrunner教授曾向老顾抱怨过geometric是世界上被剽窃最多的软件产品。Edelsbrunner教授提出的持续同调理论的兴起归功于脸书所引发的社交网络的兴起。对于大型网络数据的分析，持续同调提供了有力的理论工具。几乎在所有的大数据分析工具中，都有着持续同调的算法。从数学理论上而言，持续同调是经典代数拓扑的自然推广，同时和微分拓扑中的摩尔斯理论有着密切联系。

不畏浮云遮望眼

清华本科期间，理论班所受的教育其实涵盖了很多具有根本意义的数学思想和理论工具，同时对那个年代的计算机科学技术有了全面深入的理解。在过去的30年中，科技界每年都有新兴的学科或者方向勃然兴起，在各种浪潮冲击之下，能够保持定力，不随波逐流，洞察本质，预言大浪淘沙后的遗存；或者审时度势，乘风而起，这些都得益于当初的数学思维和工程训练。

1. 范畴论和C++

比如，我们学习了范畴论，从而理解了函子的概念：将一个范畴的概念和关系映射到另外一个范畴，同时这种映射保持结构信息，那么这种映射被称为是函子。后来学习了代数拓扑，得知代数拓扑本质上就是将拓扑范畴映射到代数范畴（群、环、域），从而将抽象得难以想象的拓扑现象（例如扭结如何彼此缠绕）转换成计算问题。我们那个年代只有C语言，没有C++语言。当C++语言刚刚出现的时候，我们惊奇的发现C++语言的概念名词居然是从范畴论中直接拿来的，例如类（class），态射（morphism）等等，因此学习C++非常轻而易举。计算机编程可以看成是从物理世界到程序范畴的一个函子映射。

2. 渲染和不动点

计算机图形学和计算图像学中的根本问题之一是渲染（rendering），本质上是用计算机模拟几何光学中的反射折射，以及能量辐射，来由几何模型、纹理模型加上材料模型计算生成图像。这一物理过程可以被视作是能量传递、耗散过程，最终可以归结为求解巴拿赫空间的不动点问题，只是计算复杂度非常高。当时在滴水成冰的严冬，和葛广和郝佳良躲在清华北墙后的农民房中编程实现光线跟踪法，为了加速，用上了汇编语言。那时，我们搓手跺脚中梦想着有朝一日，光线跟踪法的计算能够达到实时。没有想到，直至漫长的25年后这一梦想才最终实现。2018年，英伟达公司的图灵GPU系列终于可以支持实时光线跟踪。但是计算方法并没有本质改变，依然是求解规模宏大的物理系统的不动点。可以预言的是，下一步必然是光场渲染（light field rendering），这是Magic Leap一直宣称的核心技术。光场渲染后的技术瓶颈将会是光场显示系统，这依赖于自由形式光学设计（free form optics），自由形式光学设计的数学层面依赖于高精度的蒙日-安培方程求解，但是制造依赖于三维打印技术。这些技术突破之后，虚拟现实和增强现实（VR/AR）将会实现质的飞跃。

3. 因果性和相关性

传统理论研究的终极目的是揭示因果性，建立自变量到因变量之间的映射。这里自变量到因变量可以是函数、张量或者映射，映射可以被显式或者隐式表示，通常可以用偏微分方程或者用变分能量的极值描述。但是，从原理上揭示因果关系，需要建立整体理论框架，对问题的物理现象本质有着深刻理解。相关性可以用自变量和因变量的联合概率密度来描述，因果性可以视作相关性的一个特例。从原理上而言，相关性不需要对问题有本质的理解，甚至唯像的解释也不需要，只需要有统计得出的分布即可。目前人工智能联结主义的深度学习，实际上是学习联合概率分布，即只关注相关性，而不深究因果性。

虽然概率描述了随机的不确定的现象，但是概率分布自身是确定性的。概率分布之间的变换也存在严格的蒙日-安培偏微分方程理论。从历史长河来看，从相关性走向因果性，从经验公式到理论可解释公式是总的发展趋势。目前来看，用蒙日-安培理论来改进深度学习的算法，对硬件提出了一定的要求。我们相信这将是发展趋势。另外一方面而言，基于统计相关的人工智能只是智能的低层次模拟，未来会和更为抽象的高层次符号主义相融合，进行感知和推理。

人文教育

清华本科的人文教育非常丰富，令我们受益终身。记忆中很多点滴，挥之即来。

1. 哲学

哲学吴卓老师思想深刻，词锋犀利，桀骜不驯，人格独立。课上教导大家不要被主流所裹挟，要躬身体悟，深刻思考。多年之后，老顾和很多同学们孤悬海外，自我放逐，在大洋两岸都没有混入主流，却从容淡定，逍遥于非主流。吴老师讲解了那时风行的萨特哲学，“他人就是地狱”。三十年后，《三体》中的“黑暗森林”就是这一哲学思想的科幻描述，令人悲观绝望，怀疑人生。吴老师讲解马克思主义的宗教观：“精神鸦片”；讲繆勒的观点：“宗教是人对无限者的渴望，对上帝的爱”；又讲“人类具有爱的本能，对于爱这一本能的顶礼膜拜，外化成为宗教”。多年之后，很多清华同学散落世界各地，很多女同学都皈依了基督教，可能是出于对爱的顶礼膜拜。其实绝大多数人的一生都挣扎在对人类自身的热爱和厌憎之间。阅尽沧桑，世态炎凉，刹那间情不知所起，一往而深；转瞬间反目成仇，风流云散。吴老师又讲“人性永远脱离不了兽性”。后来老顾在哈佛有个社会学博士朋友，北大才子陶同学，恃才放旷，惊世骇俗。据他考证年轻男子每隔45秒钟就会想到兽性。目前，他在香港中文大学任教，继续传播他那耸人听闻的学说。吴老师又讲“人都有生的本能，也有死的本能”，每个人都苦心孤诣，奋发图强；同时也都自我否定，自毁自虐。每个人都在道德层面苛责自己，超脱庸俗，同时又对沉沦堕落无限向往。计94的于同学经常失恋，每次失恋后都大肆请客，酩酊大醉，纵情欢歌。众弟兄兴高采烈地送给他外号“沦丧”。前几天老顾在加拿大的班夫国家公园偶遇于同学。于同学不再激愤，已经和生命和解。他温文尔雅，含情脉脉地呵护一家老小去雪山冰湖远足。吴老师还讲到“人的本质是理性的，又是非理性的”。当人类发现了基因，作为万物之灵的人类自身居然是被基因所严格编码，这是宇宙秩序的证据、人类理性的终极证明；同时基因都包含着一段自毁代码，使得生命在适当时刻自我凋零，这也是个体人类非理性的证明。

2. 美学

清华本科的美学教育非常丰富，在各种课程上老师都会对学生进行潜移默化的美学影响。在抽象代数课上，老师讲解群论，讲伽罗华如何平地惊雷，只手擎天，却又超越时代，愤而自戕，使我们体会了亘古的悲怆，更加领悟到了群论深刻的“dry beauty”。在泛函分析课上，老师比较希尔伯特，巴拿赫，索伯列夫等数学大师的杰作，分析他们各自的风格，深邃精辟，激情澎湃。在数学分析课上，老师讲解康托尔尘埃体积为零，点却又和整个空间一样多，又讲到康托尔老师无法理解他的先进思想，令康托尔备受打击，最终在疯人院了却残生，令人不胜唏嘘。美学课上，老师讲解崇高和优美，讲解酒神精神，讲波德莱尔的《恶之花》，吟咏奥斯卡王尔德的名句“我们都在阴沟里，但仍有人仰望星空。”几十年后，老顾来到爱尔兰都柏林的圣三一学院，看到王尔德的一座大理石雕像。雕像表面被怪异地抛光处理，王尔德慵懒地斜卧着，眼睛俾睨着游客，嘴角似有似无地露出一丝嘲讽。老顾又想到了他的名句，“离婚的最主要原因是结婚”。

音乐欣赏课上，老师系统地讲解了民族音乐和古典音乐，那些优美典雅的乐曲令大家难以忘怀。在计九五班级的新年联欢晚会上，我们班仅有的三名女生郑惠青、卢雪和王雷唱起了王洛宾的“半个月亮爬上来”，曲调优美，意蕴深远，特别是其中的半音阶，微妙精巧，动人心弦。记得有一天，在二教操作系统的课间，有两位女孩突然若无其事地唱起了《如歌的行板》，自然而然，没有造作，没有尴尬，旋律轻盈舒缓，歌声清澈。少男们在一旁静静地伫立。阳光透过树荫从硕大的落地长窗倾泻进来，黑板前粉尘飞舞，课桌座椅表面泛着微光，书籍笔记散放着墨香。那一刹那，时间停止，流光凝滞，歌声缥缈，美好永恒。

校园文化

那个年代，没有电子游戏，没有互联网，没有创业融资，社会还没有商业化。大家有着充裕的课外时间来发展业余爱好。清华同学正值青春年少，好奇心强烈，而又敏感多情，因此校园文化蓬勃发展。

1. 文艺社团

清华有八大文艺社团，高手辈出。老顾加入了军乐队，经常参加文艺汇演。军乐队有很多保留节目，令人印象非常深刻。

那时流行模仿外国电影配音：大幕徐徐拉开，蔚蓝的天幕下，一道剪影，一支长笛，笛声空濛悠远，澄净哀婉：“你以为，因为我穷，低微、不美、矮小，我就没有灵魂没有心么？你想错了！我的灵魂跟你的一样，我的心也跟你的完全一样！”原来是于源同学伴奏的《简爱》配音。下一个节目是陆松涛的小号独奏《西班牙斗牛士》。一上来就是紧张铿锵的蹄声，一阵紧过一阵，用娴熟的小号双吐技巧来演奏；突然号声高亢嘹亮，刺破天幕，英勇威武的斗牛士登场亮相；斗牛困兽犹斗，拼死顽抗，斗牛士与之勇敢周旋，最终大获全胜；小号的高音挑破天际，全曲在紧锣密鼓中骤然结束。军乐队经常演奏各种大型交响乐,其中苏萨的《星条旗永不落》令人难忘。这首乐曲生猛刚烈，慷慨激昂，震撼人心。尤其每次演奏最后高潮部分，所有的铜管乐器都敞开了音色，到达了音高极限，大家浑身战栗，血脉贲张，极度亢奋。

2. 古典音乐

清华校园非常流行西班牙古典吉他，几乎所有的男生都会弹奏《爱的罗曼斯》和《绿袖姑娘》。乐队的同学们排练过一些较为古典的乐曲，比较柴科夫斯基的《船歌》，德沃夏克的《母亲教我一首歌》，门德尔松的《五月的微风》等。后来，很多队友情窦大开，刻苦练习舒伯特小夜曲，古诺小夜曲，托赛里小夜曲，梦想着有朝一日在皎洁的月夜跑到心爱的姑娘窗下进行演奏。但似乎没有谁真正得逞过。据说清华女生楼的看门老太非常严厉，每次男生去找女生，她都拒绝传呼，而是让男生在楼下直着脖子喊女生，或许她是善意地帮助男生来进行奇特的表白。

3. 欧美流行音乐

那时候，欧美流行音乐在国内比较盛行。军乐队的几位朋友组建了“威肯”轻音乐队，周末在食堂组织舞会，舞曲经常改编自欧美歌曲。威肯乐队的鼓手田兵和老顾分享过乐谱，老顾也经常演练这些脍炙人口的乐曲。

依随岁月流逝，老顾游历世界上很多地方。每到一个城市，经常依稀记得练过的乐曲，将音乐中的想象和现实对照，总会百感交集。例如英伦的《伦敦德里小调》，意大利的《重归苏莲托》，希腊罗德岛《爱琴海的珍珠》，西班牙的《鸽子》，安第斯山脉的《鹰之歌》。每次老顾去耶鲁大学，总会想起卡朋特兄妹的《昨日重来》，因为纽海文是他们的家乡，柔美的旋律宛若微风掠过心田，想到卡朋特妹妹的凄惨身世，总会引此不尽的悲伤。后来，老顾定居纽约长岛，这里是黑手党的发祥地，经常想起《教父》中的《轻声细语》。每次经过曼哈顿百老汇，也会想起音乐剧《猫》中的《回忆》。

一天傍晚，老顾访问法国，在巴黎塞纳河畔游荡，突然听到有人用排箫演奏约翰列侬的《Imagine》，“想象没有天堂，没有地狱，没有国界，没有杀戮和捐躯的意义；没有宗教，没有贪婪和饥荒，世界融为一体。”夜色苍茫，水流无声。

有一次，老顾和王雅琳同学从旧金山开车回洛杉矶，在经过死亡谷的时候狂飙突袭，偌大的SUV几乎被狂风掀翻。王雅琳面色严峻，紧握方向盘。老顾耳畔回响起了老鹰乐队的《加州旅馆》，突然理解了诡异莫名的歌词内容和感人心弦的悲世情怀："We are all just prisoners of our own device, You can checkout anytime you like, but you can never leave！”男人为虚名浮利所困，女人为情所苦，终身宿命，无人能够逃离。

4. 本土流行音乐

那时候，港台歌曲在大陆非常盛行，几乎所有的同学都会哼唱。校园民谣也开始涌现。每天夜晚，在清华操场上，总有人在吉他弹唱，其中就有后来名满天下的高晓松、水木年华和李健。

在系里新年联欢晚会上，卿山同学唱起了《哭砂》，一个粗豪的男生唱着苦情的歌曲，高潮处情难自抑，歌声激越。其实《哭砂》表达了女生无法留住男生的无奈与悲哀，他们有过美好的回忆，但是男生不愿放弃漂泊。一直不理解卿山为何喜欢这首歌，那时又是唱给谁？上一次去圣地亚哥，和卿山从海岸绝壁上攀援而下，直达天体海滩。碧海蓝天，猎猎罡风，许多伞翼在空中自由滑翔。我们在黄昏落日中并没有进行触及灵魂的谈话。卿山又请我去了当地最知名的川菜馆，吃了餐馆最为知名的一道招牌菜：美式牛排。这反映了美国华人的人文情怀都被剧烈扭曲的残酷现实。那时没有问卿山这首“哭砂”背后的深意，下次去圣地亚哥一定问清。次日，李晨同学从尔湾驱车赶来。李同学在斯坦福的师弟创业，曾经邀请李同学加盟，一心想在学术上有所建树的李同学坚定地予以回绝。后来这家创业公司改名叫谷歌。价值多元，各得其所，人生不过如此。

军乐队的同学热情洋溢，感情奔放。在去食堂的路上，偶遇两三个队友，谈笑间忽然有人提议“我们唱个和弦吧？”于是大家就一路唱着主和弦，附属和弦地过去。军训时，男女队友组成混合排，胡雪刚同学和贵冬梅同学一语不合就开始吉他弹唱，胡同学主唱《外面的世界》，贵同学女声伴唱，夕阳西下，暮色渐起，琴声悠扬，旷远忧郁。老顾一直怀疑胡同学是胡雪岩的后代，目前在杭州经营餐饮业，风生水起。现在，贵同学被誉为“纽约百灵”，在网络上每日一歌。军训操练一天之后，大家精疲力尽，精神萎顿，卿山同学忽然一嗓子《黄河船夫曲》：“你晓得，天下黄河九十九道湾哎”，众弟兄跟上：“几十几道湾上，几十几只船哎”，立刻精神抖擞，在北京昌平地界唱出了陕北高原的感觉。

傅志昱同学酷爱摇滚，在军营中带领大家高唱崔健的《新长征路上的摇滚》。指导员白欧同学忍住笑意，待大家唱毕后故作慌乱状，告诫傅同学要注意影响。目前，白同学在佛罗里达迈阿密做教授，可能还是那么一本正经。傅同学为大家朗诵海子的“面向大海，春暖花开”；胡雪刚声嘶力竭地演绎北大才子杨丹涛的《敲开》，“我的心需要你狠狠地敲开”，北大的爱情居然可以如此血腥，让大家惊诧莫名。正当大家为清华不出自焚诗人而无比懊恼之际，傅同学又为大家背诵了《出国谣》：“苦学十几年啊，毕业五十七。囊中羞涩，找不到亲爱的。”令人耳目一新。后来才知道，这位才气纵横的地下诗人是建筑系师兄刘兵。傅同学后来组建了“梦中草原”民谣乐队，所写的《梦中草原》在校园歌手大赛中获得冠军，传唱北京高校。

再后来，方进同学开始研究交响乐的总谱，带领大家钻研乐理。暑假老顾左手一本《广义函数论》右手一本《交响乐配器法》，在清华荷塘旁认真研习。那里环境优雅，微风习习，垂柳入池塘，清水出芙蓉。只可惜老顾左边也看不懂，右边也看不懂。多年后，每当老顾从北京飞往纽约，在飞机上总会想起德沃夏克的《新大陆交响曲》，体悟其中的经典配器：长笛和英国管交替演奏的《思乡曲》，旋律优美绝伦，无言凄凉。英国管音色接近双簧管，鼻音浓重，完美地表现了无限思乡之情。当时，这种思绪被恰切地称为“pleasant sorrow”。以区别于高晓松《同桌的你》的“骚柔”。后来，王菲的《传奇》传遍大江南北，这首歌由师兄刘兵作词，师弟李健作曲。但是李健初始版本的《传奇》并没有引起轰动，因为刘兵和李健开始的处理方式上非常接近古典音乐的咏叹调唱法。王菲空灵悠远的表现方式使得《传奇》深入人心。王菲的空灵演唱风格受到爱尔兰小草莓乐队的影响，而小草莓乐队继承了爱尔兰以风笛和竖琴为主的民族音乐风格。凯尔特风笛空濛寂寥，忧郁深情，例如泰坦尼克的《我心继续》。通过学习《广义函数论》和《乐曲设计原理》，老顾理解了管乐器的空气振动模式满足波动方程，由于一端封闭（嘴）一端开放（喇叭口）的边界条件，其解只有奇数次谐波。这意味着长笛、单簧管的乐音的傅里叶频谱里没有偶数次谐波。对于人类而言，偶数次谐波的丧失给人忧伤空灵的感觉。小提琴的频谱既有偶次也有奇次谐波，因此更加丰富细腻。由此，老顾以清华风格，从在荷塘学习的两本书中找到了对李健和刘兵《传奇》的内在理解。

学习感悟

1. 天赋与努力

那时军乐队的同学刻苦练功，追求唯美。乐队指挥朱汉城老师经常教导大家：小号的音色应该像阳光中的一把金属粉末那样的绚丽，单簧管的音色应该像一段水晶柱那样的纯洁。大家经常探讨如何令音色更加优美，掌握繁难的指法，飚出稳定的极限高音。通过练琴，老顾对于天赋和努力的辩证关系有了切身的体会。

器乐演奏对于乐手的先天条件提出了苛刻的要求。比如圆号管身超长，反馈周期很长，号嘴狭小，音高难以控制。但是，很多交响乐都是以圆号前奏开始，例如《蓝色多瑙河》的开篇就是晨雾迷蒙中传来远方的号角，这对乐手的演奏能力和心理素质提出了严格要求。乐队的张宁同学天赋异禀，嘴型非常适合演奏圆号，很快成为圆号首席。再如演奏萨克斯，每支小拇指需要各自控制4个按键，低音萨克斯的乐手小拇指必须超乎寻常的修长。整个乐队89级只有卿山同学才有这种“百年不遇”的手指。有一次，卿山抱着低音萨克斯在练习圣桑的《天鹅之死》，抑郁的旋律描绘了宁静皎洁的月色下，一只身负重伤的白天鹅孤身只影在平静的湖面上艰难挣扎，不懈反抗命运。其中一个深沉的低音，到达萨克斯的极限低音，需要用上全部的手指，并且口唇肌肉极度放松。卿山见老顾满脸堆笑地等在一旁，于是大度地说道：“老顾，你来一口。”老顾抱过萨克斯过了一把瘾。

单簧管音色的提炼需要精深的功夫。当时，乐队的首席单簧管是陈皓同学。陈皓同学本来是建筑专业的艺术家，却又酷爱数学，经常和老顾探讨拓扑问题，后来成为杨乐夫人的研究生。记得有一次和陈同学讨论过一个接近玄学的问题：若一个拓扑空间可以表示成可数无穷多的无处稠密集之并则被称为是第一纲集，这一概念在偏微分方程理论中的意义如何。《轻骑兵序曲》中段匈牙利吉普赛雕饰调式的主题，旋律宁静而忧郁，带有悲歌的色彩。其中表现骑兵队长雅格仕回忆爱人的一段单簧管Solo，极度优美。陈皓同学将这一段叹惋凄美爱情的Solo，演奏得荡气回肠，余音绕梁。陈皓同学也酷爱里姆斯基-科萨科夫的《印度客商之歌》，那里用单簧管的音色来表现宝石闪烁的光芒，如真如幻，怅惘迷茫。在我们89级学员中，单簧管音色最为纯正优美的应该是贺音同学，在学员升级考试中，大家演奏得音高失准，气息停窒，只有她一曲东蒙民歌《牧歌》，行云流水，一气呵成，将蒙古草原天高野阔，满目苍茫的感觉表达得淋漓尽致，从此得到周乃森先生和朱汉城老师的青睐。

另一方面，乐队中也有同学凭借过人的刻苦努力，很快脱颖而出。乐队唐同学的手非常小巧，开始无法驾驭单簧管，而是从特色乐器小黑管练起。特色乐器无法担当主旋律，只能在特色华彩乐段穿透整个音乐织体突现出来。令人无比震惊的是，经过不懈努力，唐同学很快就能够娴熟自如地演奏单簧管了。这令老顾见识到了清华同学惊人的意志力。

2. 高手境界

老顾也观察到掌握一门技艺的客观规律。开始练琴的时候，无法驾驭，笨拙而暴力，音色撕裂，难以忍受；逐渐熟能生巧，轻巧自如，柔和含蓄，悦耳动听。渐渐地，老顾理解了与刚烈高亢相比，柔韧温润才是真正高手。前几日，老顾走在曼哈顿街头，忽然间摩天大楼之间回荡起温柔的短号，连续的颤音动人心弦。不用回头老顾就知道乐手在轻揉号键，能够将刚猛的短号吹得如此饱含深情，必为高手。回头望去，但见轮椅上的一位落魄男子，行动不便，满目憔悴，正在一往情深地演奏着短号。伫立在曼哈顿街头的万丈红尘之中，老顾被这位乞丐的音乐深深打动，久已麻木的心灵忽然变得柔软起来。

后来老顾经常练习高音萨克斯，特别是Kenny G的《回家》，《我心继续》等乐曲。渐渐地，老顾明白了一个道理：Kenny G之所以被誉为萨克斯大师，并不仅仅在于他演奏技巧的高超，而是在于他的作曲。他在历史上首次将高音萨克斯从特色乐器（只负责少数华彩乐句）提升为主旋律乐器。因此，若要有所建树，必须要打破常规思想，从根本上突破。有一次，老顾在波士顿伯克利音乐学院门前（王力宏和鸟叔母校）看到一位前来踢馆的黑人音乐家，手持一把高音萨克斯，演奏姿态居然如同吹奏唢呐一般，其音乐风格更是离经叛道，狂野不羁。让老顾见识到了何谓世外高人！

3. 浑然天成

当时乐队的顶级高手都是特招的音乐人才，从小开始的严格训练使得他们掌握了高深技巧，这在小号、双簧管这些对演奏技巧要求较高的乐器上有着充分体现。当时89级军乐队的首任队长郝佳良同学刻苦练功，每天在团委排练室练习小号，很快其长音就超过了所有同学。那时，葛广、郝佳良、陈皓我们几个经常在一起切磋演奏技巧和对音乐与数学的理解。郝同学对富有才华的作品和演绎方式的称赞就是“浑然天成”。

一般来看，音乐和数学是最能体现天赋和才华的两个领域，同时也是最为需要“童子功”的领域。后来，老顾遇到的大量数学高手都曾经受过严格训练，但是最为顶尖的大师确有几位是浑然天成的。最为广为人知的当属低维拓扑的一代宗师：比尔-瑟斯顿（Thurston）。瑟斯顿本科学习生物，因为好奇自学了数学书籍。学习之后对于传统的数学教材晦涩难解、故弄玄虚的方式充满愤怒，从而用自己独到的想象加顿悟的方式研究拓扑。三维流形的拓扑远离日常经验，彻底超出人类想象。瑟斯顿却用他非凡的想像力解决了艰深的拓扑问题，洞察了三维拓扑辉煌的理论大厦，引领了世界拓扑学潮流达数十年之久。后来，老顾有幸成为丘成桐先生的弟子。一直以来，丘先生对于自己惊人的几何直觉非常疑惑，很多时候他觉得显而易见的几何结构，一般数学家需要很久才能够真正领悟。张益唐先生有一次和老顾闲谈时也讲到，在他少年时期，令他最为困惑的问题是：他究竟和正常人是否一样。

对于这些天才，常人无法企及，那么资质平庸的人如何通过修炼，才能够真正做出力所能及的贡献，这成为老顾苦苦思索的问题。

4. 功夫诗外

因为同时学习数学和计算机科学，逐渐地，老顾意识到很多知识体系的理论侧面和工程侧面，特别是融会贯通各个知识领域的重要性。恰如在音乐上，Kenny G的成功在于作曲和演奏；在数学中，每个领域最为根本的问题肯定都是自己领域无法解决的，必须用其他领域的知识才能解决。比如代数领域，复数域多项式方程解的存在性证明来自于拓扑领域；拓扑领域最为基本问题是庞加莱猜想和瑟斯顿猜想，其终极证明却是来自微分方程的曲率流方法。

有一次陈省身先生来清华讲演，上来就批判清华没有代数拓扑的课程。老顾深受触动，于是自学了代数拓扑。后来理解了陈先生的良苦用心：陈先生的学术成就在于融汇了微分几何与代数拓扑，开创了大域微分几何；丘成桐先生的学术成就在于融汇了微分几何和偏微分方程理论，创立了几何分析的新天地，后来将几何与理论物理相融合，在超弦理论方面做出杰出贡献。渐渐地，老顾认定了将现代几何与计算机科学相结合的方向。

现在回想，清华本科的生活并没有消磨老顾的好奇心，反而激起了对于几何的强烈热情，培养了品味，同时为以后将现代几何与计算机科学相结合的道路奠定了学术修养基础，指明了未来方向。

理论班同学

对老顾影响最大的还是理论班的同学。我们计95班13个人最大的精神特质就是“沉勇”：沉默的勇敢，为了自己真正的挚爱，勇于放弃世俗，不懈追求，坚韧不拔，九死不悔。

蒋步星同学是国际奥林匹克数学竞赛的首届中国金牌得主，还没有入学就已经闻名于世。机械领域中有着能量密度的概念，例如电池的能量密度低于汽油发动机；各种书籍也有着智力密度的概念，抽象数学的智力密度应该大于长篇小说的智力密度。只要有兴趣，蒋同学能够随时自学任何一部高智力密度的书籍，从代数几何到古典吉他总谱。有一次，蒋同学忽然觉得英语词汇量有待提高，若无其事地开背英汉词典；又有一次，蒋同学意识到酒量在现实生活中的重要性，立刻每天不懈地带着白酒去食堂，刻苦锻炼酒量。蒋步星同学的沉勇更多地体现在对人生道路的选择上。当大家都认为他会在学术上鹏程万里的时候，蒋同学毅然决然地投身到创业之中，很快就一统国内电子报表领域。李晨同学醉心于学术，放弃了成为谷歌founder的机会，其壮士断腕，苦心孤诣的学术追求，令人敬佩。娇小玲珑的王雷，放弃了波士顿金领生活，成为第一位爬上过世界七座最高峰并且到达过两极的亚洲女性，名垂史册。

当时，理论班同学经常讨论数学，蒋步星同学将其对数学的精妙理解毫无保留地和盘托出，令大家受益无穷。现在回想，依然无限感激。记得我们在数学系学习《抽象代数》，老师经常自我炫耀地说：“要想学好群论，300页的书要读30本”，这令老顾自惭形秽，自信心备受打击。回到宿舍和蒋同学讨论伽罗瓦理论，询问为什么高阶多项式方程不存在求根公式，蒋同学一句话“高阶交错群是单的”，一针见血，记忆犹新。后来，去上微分几何课，授课的年轻人上来就说：“微分几何的题如果你不会就微分一次，再不行就再微分一次，实在不行了，微分三次肯定就行了。”老顾一听居然用如此庸俗功利的讲法亵渎神圣的微分几何，立刻大怒，摔门而去，回去和蒋同学讨论自学。现在回想，可能那位老师害怕起点太高，故意讲得接地气，没想到遇到如此不谙世事的年轻人。

蒋同学酷爱古典吉他，每天在宿舍练琴长达三个小时。那时我们住在9号楼216室，北向有一扇小窗，窗外常青藤密布，遮挡了阳光。室内光线昏暗，气氛忧郁。蒋同学的剪影永远定格在记忆之中，怀抱吉他，面前摊开卓里奇的《数学分析》教程，右手在下意识地弹奏着轮指。蒋同学长发蜷曲，语言犀利，英俊狂野，桀骜不驯。当年，清华才女刘煜曾经来过我们宿舍，和老蒋有过一面之缘。几十年后，据刘同学回忆老蒋，“眼神直勾勾”。老顾认为天才给人的初次印象，一般都是这样。蒋同学非常钟爱塔雷加的《阿尔罕布拉宫的回忆》。现在回想，这首乐曲其实对老顾的学术生涯影响至深。

这首乐曲的背景如下：公元六世纪，阿拉伯帝国征服了伊比利亚半岛，在西班牙开始了长达800年的伊斯兰统治。摩尔人在西班牙的最后一座堡垒是格林纳达，格林纳达的阿尔罕布拉宫成为伊斯兰建筑的经典之作。阿尔罕布拉宫极致华丽，美艳凄绝，成为格林纳达王朝的一曲绝唱。公元14世纪，西班牙光复，伊莎贝拉女王亲率大军将摩尔人驱离格林纳达。十九世纪末，西班牙吉他演奏家和作曲家塔雷加来到格林纳达，残垣断壁，肃穆悲凉。塔雷加惆怅感伤，心绪荡漾，遂一气呵成千古名曲《阿尔罕布拉宫的回忆》。令人心碎的轮指演奏出曼陀铃的音色，宛若阵阵叹息，叹惋世态沧桑，生命无常。每天，我们昏暗的宿舍都会沉浸在愁云惨淡的哀伤之中。蒋步星的轮指日臻化境，最终赢得清华古典吉他大赛第一名。老顾经常经过曼哈顿911纪念馆，每次凭吊，都令人无限感伤，令人心碎的轮指在老顾耳畔再次萦绕。世贸中心的遗址处是两个暗无天日的深坑，倒悬的瀑布沿着黑色大理石倾泻而下。以博爱为名义的宗教使得人类陷入无际的杀戮。倡导天下大同的约翰列侬也被杀死在纽约街头。人类永远无法逃离自相残杀的悲剧。

在阿尔罕布拉宫的建筑装饰中，人们可以找到平面上所有可能的对称。由于伊斯兰文明禁止偶像崇拜，所有建筑装饰都不容许带有生命的具体形象，必须是彰显神的智慧的抽象几何模式。对称的数学描述自然是伽罗华的群论。二十世纪初叶，荷兰画家埃舍尔来到格林纳达，被阿尔罕布拉宫镶嵌图案巨大的精神力量所震撼，激发他用数十年创做了三件不朽的作品：天使与恶魔。

图1. 天使与恶魔，埃舍尔，球面1942，欧氏平面1941 ，双曲圆盘1960。

这三件作品深刻地揭示了人性：每个人都是天使和恶魔的混合，都有善良都有丑恶，都有崇高都有卑鄙，永远挣扎，无法逃脱。第一幅作品表达了有限的球面对称，剩余两幅都是无限的欧氏和双曲对称。拓扑学家和微分几何学家证明了单值化定理，进一步揭示了埃舍尔《天使与恶魔》背后的深意：宇宙间万物，在共形变换的意义下，最终都归结为这三种对称空间中的一种，埃舍尔的作品涵盖了一切自然形状，也涵盖了一切人心，表达了宇宙中永恒的精神。阿尔罕布拉宫感动了建筑师，音乐家，画家和数学家的心灵，他们用各自的才华，表达了对永恒的追求。

如同《阿尔罕布拉宫的回忆》，埃舍尔的《天使与恶魔》深深地震撼了老顾。对于世界上绝大多数的文化宗教而言，其核心主题都是人性善恶交织，永远缠斗。中国上古的太极图，本质上也是表达类似思想。太极图的阴阳双鱼象征着善恶，具有旋转对称。但是，阴阳双鱼的对称群只有两个元素，远小于埃舍尔的《天使与恶魔》中表现的无穷阶对称群。埃舍尔的《天使与恶魔》在共形意义下统摄了世间万物，因此其精密程度远远高于阴阳双鱼。道教文化满足于哲学层面和美学层面的阐述，“道可道，非常道”，“玄而又玄，众妙之门”。数学的发展就是为了将玄虚的哲学定量成精确的数学。那时，老顾觉得对于曲面几何而言，众妙之门就在于《天使与恶魔》背后的数学定理：单值化。

音乐家走过，数学家走过，画家走过，老顾受此感召，决意用自己计算机科学家的独特方式来表达内心的虔诚：将抽象的单值化定理转换成离散的计算机算法。差不多经历二十年，老顾和朋友们终于建立了离散理论，从此单值化不再神秘莫测，从神坛落入人间。老顾最终体悟到了何谓天人合一的境界。

图2. 单值化定理，世间万物，最终归结为三种标准空间中的一种。

尾声

清华本科，同学们都是至善至纯，追求深刻，追求唯美，为了理想主义付出了巨大的热情和心血。多少年来，老顾一直疑惑，清华同学们的横溢才华，卓绝努力是否最终烟消云散，在历史长河中无影无踪？蒋步星同学炉火纯青的轮指绝技是否真的改变了世界？

后来，李健来纽约巡演，“音乐诗人”清华式的忧郁令人倍感亲切。《梦一场》的吉他前奏，令人心碎的轮指响起，宛若《阿尔罕布拉宫的回忆》，在林肯音乐厅久久萦绕。老顾终于释然：蒋步星的轮指技艺推动了当年清华古典吉他的艺术氛围，在李健的生命中留下了深刻的烙印，潜移默化地融入到李健的音乐创作之中，最终载入了中国现代音乐史册。

每个人的心血，每个人的坚持和努力，融入到时代潮流之中，最终推动了历史的发展。如果说雪崩中没有一片雪花是无辜的，那么历史浪潮中每一朵浪花都有其独特价值！