数学和古典诗词的意境

2018 年 3 月 5 日 算法与数学之美 张奠宙

数字嵌入诗词，早已有之。郑板桥有咏雪诗：

一片二片三四片，五片六片七八片；

千片万片无数片，飞入梅花总不见。

诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过，诗中尽管嵌入了数字，却实在和数学没有什么关系。数学和古典人文的联接，贵在意境。这要从徐利治先生的一段往事说起。大约在1993年，在无锡鼋头渚开过一次数学方法论的研讨会。有一天下午，徐先生作报告。他说了一个故事。

“我在数学分析课堂上，先在黑板上写了李白的名诗：

故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。

然后问同学们哪一句可以和极限概念相通？大家的共同回答是‘孤帆远影碧空尽’。这说明，数学和诗词是可以沟通的”。

徐先生的演讲触动了我的心弦。我似乎看到了数学和人文意境互相沟通的隧道。徐先生的例子事关无限。无限，乃是数学家和人文学者都要面对的问题。彼此解决的途径可以不同，但是思考时的意境必然会有相似之处。

于是，我接着思考有关无限的诗句。首先想到的是陈子昂的《登幽州台歌》：

前不见古人，后不见来者；

念天地之悠悠，独怆然而涕下。

一般的语文解释说：前两句俯仰古今，写出时间绵长；第三句登楼眺望，写出空间辽阔。在广阔无垠的背景中，第四句描绘了诗人孤单寂寞悲哀苦闷的情绪，两相映照，分外动人。然而，从数学上看来，这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线（一维空间)。陈老先生以自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间：天是平面，地是平面，悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考，感到自然之伟大，产生了敬畏之心，以至怆然涕下。这样的意境，数学家和文学家可以共有。尤其是，把时间和空间放在一起思考，可以说也在意境上与爱因斯坦的四维时空学说相衔接。我把这一想法和语文学者交谈，他们也觉得很有意思。但是，在应试教育盛行的标准化考试面前，这无论如何不能算标准答案，无法进入语文研究的视野。

无限有两种：其一为没完没了的“潜无限”，其二是“将无限一览无余”的“实无限”。有一次，一个朋友来家闲坐。问起 0.9999……=1，对不对。他随口说数列的无限就像长江流水滚滚来。这促使我想起杜甫的名诗《登高》中的两句：

无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。

前句指的是“实无限”，即实实在在全部完成了的无限过程、已经被我们掌握了的无限。“无边落木”就是指“所有的落木”，这个实无限集合，已被我们一览无余。后句则是所谓潜无限，它没完没了，不断地“滚滚”而来。尽管到现在为止，还是有限的，却永远不会停止。数学的无限显示出“冰冷的美丽”，杜甫诗句中的“无限”则体现出悲壮的人文情怀，但是在意境上，彼此是沟通的。

我的第二波思考是将数学思想方法和古诗意境连接起来。有一年，我在河内参加一个会议。新加坡南洋大学的李秉彝教授和我同住一个旅店。他喜欢到古玩街闲逛，收来一把茶壶，上面有诗句：

松下问童子，言师采药去。

只在此山中，云深不知处。

品玩之余，我们突然感觉到这首小诗在人文意境上和数学存在性定理彼此相通。文学家欣赏“云深不知处”的苍茫意境，而数学家则会关注难以名状的一种不确定性。隐者在哪里? “云深不知处”。但是他确实就在此山中。与数学的意境何等契合！

数学上常用反证法。你要驳倒一个论点，你只要将此论点“假定”为正确，然后据此推出明显错误的结论，就可以推翻原论点。苏轼的一首《琴诗》就是这样做的：

若言琴上有琴声，放在匣中何不鸣?

若言声在指头上，何不于君指上听?

意思是，如果“琴上有琴声”是正确的，那么放在匣中应该“鸣”。现在既然不鸣，那么原来的假设“琴上有琴声”就是错的。由此可见，人文的论辩和数学的证明，都需要遵循逻辑规则。

最近，我开始第三波的数学意境研究，将数学问题求解的过程，用古诗意境加以比喻。这里也有一些例子。

首先是关于黎曼积分和勒贝格积分。苏轼《题西林壁》诗云：

横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。

将前两句比喻黎曼积分和勒贝格积分的关系，相当有趣。苏轼诗意是：同是一座庐山，横看和侧看各不相同。勒贝格则说，比如数一堆叠好了的硬币，你可以一叠叠地竖着数，也可以一层层横着数，同是这些硬币，计算的思想方法却差异很大。横看和侧看，数学意境和人文意境竟可以相隔时空得到共鸣，发人深思。

最后一个实例是局部和整体。仔细琢磨一下微积分的核心思想之一，在于考察一点的局部。研究曲线上一点的切线，只考虑该点本身不行，必须考察该点周围的一些点，这就是局部的思想。一点的局部，只是考察该点的“附近”，却没有远近的确切要求。这种小大由之的概念，颇有一些哲学意味，它需要从意境上加以把握。为什么考察一个人，要问他/她的身世、家庭、社会关系？也是因为人是以局部而存在的。孤立地考察一个人是不行的。微积分学就是突破了初等数学“就事论事”、孤立地考察一点、不及周围的静态思考，转而用动态地考察“局部”的思考方法，终于创造了科学的黄金时代。可是，现在的微积分教材，对此只字不提，颇觉遗憾。

考察局部，何止于微积分？最近读到杜甫的诗句：